静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 3 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 180 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 180 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
一个水平文丘里流量计（入口 200 mm，喉部 150 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 150 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。
d1 = 200 mmd2 = 150 mmΔh = 150 mmCd = 0.98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 25 L/s 的流量流过一根长 1000 m、内径 250 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 25 L/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 300 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 37 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 37 mL = 300 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台水泵以 66 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 65%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 60 L/sH = 66 mηpump = 65%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 14 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 75%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 120 L/sΔz = 14 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水压力
答案: F = 119.6 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·3.75 = 119.6 kN
答案
F = 119.6 kN
2.静水压力
答案: F = 51.5 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·1.5 = 51.5 kN
答案
F = 51.5 kN
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 163.1 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(100/50)² = 6 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 6²)/1000 = −16.88 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 180 + (−16.88) = 163.1 kPa
答案
p2 = 163.1 kPa
4.连续性和伯努利
答案: Q = 127.5 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
由压差计求压强差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.15 = 18541 Pa
喉部流速
连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。
β = 150/200 = 0.75
v2 = √(2·18541/(1000·(1 − 0.3164))) = 7.365 m/s
实际流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.98·0.01767·7.365 = 0.1275 m³/s = 127.5 L/s
答案
Q = 127.5 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 0.7932 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²
V = Q/A = 0.025/0.04909 = 0.5093 m/s
速度水头
V²/(2g) = 0.5093²/(2·9.81) = 0.01322 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(1000/0.25)·0.5093²/(2·9.81) = 0.7932 m
答案
hf = 0.7932 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 399.7 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.015·300/0.3 = 15
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
37 = (15 + 7.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·37/22.7) = 5.655 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 5.655·0.07069 = 0.3997 m³/s = 399.7 L/s
答案
Q = 399.7 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pel = 67.92 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·66 = 38.85 kW
轴功率
Pshaft = 38.85/0.65 = 59.77 kW
电功率
Pel = 59.77/0.88 = 67.92 kW
答案
Pel = 67.92 kW
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 32.68 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14.4 + 8)·0.3046 = 6.823 m
泵扬程
H = Δz + hL = 14 + 6.823 = 20.82 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·20.82/0.75 = 32.68 kW
答案
Pshaft = 32.68 kW
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