静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水从一个大型敞口水箱经直径 40 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 5 m，流量系数为 0.65。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。
d = 40 mmh = 5 mCd = 0.65g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
一根内径 50 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1 m，出口（通大气）低于水面 3.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。 求流量 Q。
d = 50 mmzC = +1 mz2 = −3.5 mg = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 30 L/s 的流量流过一根长 150 m、内径 250 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 30 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 150 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 100 L/s？
Q = 100 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
一台效率为 75% 的水泵以 34 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 25 L/sH = 34 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 82%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 5η = 82%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水压力
答案: F = 353.2 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·9 = 353.2 kN
答案
F = 353.2 kN
2.静水压力
答案: F = 271.9 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3.5·9 = 271.9 kN
答案
F = 271.9 kN
3.连续性和伯努利
答案: Q = 8.09 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想射流速度
√(2gh) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s
实际流量
流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.65·0.001257·9.905 = 0.00809 m³/s = 8.09 L/s
答案
Q = 8.09 L/s
4.连续性和伯努利
答案: Q = 16.27 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
软管中的流速
液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。
v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s
流量
Q = A·v = 0.001963·8.287 = 0.01627 m³/s = 16.27 L/s
答案
Q = 16.27 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 0.2056 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²
V = Q/A = 0.03/0.04909 = 0.6112 m/s
速度水头
V²/(2g) = 0.6112²/(2·9.81) = 0.01904 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(150/0.25)·0.6112²/(2·9.81) = 0.2056 m
答案
hf = 0.2056 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: Δz = 11.18 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s
V²/(2g) = 0.5164 m
损失系数
f·L/D = 0.025·150/0.2 = 18.75
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9
总水头损失
hf = 18.75·0.5164 = 9.683 m
hm = 2.9·0.5164 = 1.498 m
Δz = hf + hm = 11.18 m
答案
Δz = 11.18 m
7.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 11.12 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·34 = 8.338 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 8.338/0.75 = 11.12 kW
答案
Pshaft = 11.12 kW
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 6.04 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11.25 + 5)·0.1291 = 2.098 m
泵扬程
H = Δz + hL = 8 + 2.098 = 10.1 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·10.1/0.82 = 6.04 kW
答案
Pshaft = 6.04 kW
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