流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 1400 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p₀ − p = 1400 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

4.连续性和伯努利困难

一根内径 40 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1 m，出口（通大气）低于水面 2.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 40 mmz_C = +1 mz₂ = −2.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 120 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 300 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 120 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 50 L/s？

Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 75% 的水泵以 36 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 60 L/sH = 36 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 16 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 78%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 16 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 8η = 78%

P_shaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 143.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·4.5 = 143.5 kN

答案

F = 143.5 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 4.083 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1/(4·3) = 4.083 m

答案

y_cp = 4.083 m

3.连续性和伯努利

答案: v = 48.3 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1400/1.2) = 48.3 m/s

答案

v = 48.3 m/s

4.连续性和伯努利

答案: p_C = 66.97 kPa

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·2.5) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(7.004²/2 + 9.81·1)/1000 = 101.3 − 34.34 = 66.97 kPa

答案

p_C = 66.97 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 3.672 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²

V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.698²/(2·9.81) = 0.1469 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(500/0.3)·1.698²/(2·9.81) = 3.672 m

答案

h_f = 3.672 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 0.698 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s

V²/(2g) = 0.05288 m

损失系数

f·L/D = 0.022·100/0.25 = 8.8

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

总水头损失

h_f = 8.8·0.05288 = 0.4654 m

h_m = 4.4·0.05288 = 0.2327 m

Δz = h_f + h_m = 0.698 m

答案

Δz = 0.698 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 28.25 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·36 = 21.19 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 21.19/0.75 = 28.25 kW

答案

P_shaft = 28.25 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 27.17 kW

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (58.67 + 8)·0.408 = 27.2 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 16 + 27.2 = 43.2 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·43.2/0.78 = 27.17 kW

答案

P_shaft = 27.17 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics