流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 2.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 1.5 mH = 1 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
12d1​ = 150 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 320 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 320 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12Δh = 100 mm水银Q = ?

一个水平文丘里流量计（入口 250 mm，喉部 125 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 100 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 100 mmCd = 0.98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.6 m/sD = 50 mmL = 400 mf = 0.03

水以 2.6 m/s 的平均流速流过一根长 400 m、内径 50 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

V = 2.6 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 2Δz = ?L = 150 m, D = 150 mm, f = 0.0252× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 60 L/s？

Q = 60 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 15 L/sH = 34 m

一台效率为 78% 的水泵以 34 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 15 L/sH = 34 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
150 kPa (表压)PQ = 50 L/sΔz = 6 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0.022, ΣK = 8

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 150 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8ptank = 150 kPa
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 128.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
闸门d = 0.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·7.5 = 128.8 kN

答案

F = 128.8 kN
2.静水压力

答案: ycp = 2.042 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
闸门d = 1.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2·1 = 20.11 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0.08333/(2·1) = 2.042 m

答案

ycp = 2.042 m
3.连续性和伯努利

答案: p2 = 290 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(150/75)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 320 + (−30) = 290 kPa

答案

p2 = 290 kPa
4.连续性和伯努利

答案: Q = 61.76 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.1 = 12361 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 125/250 = 0.5
v2 = √(2·12361/(1000·(1 − 0.0625))) = 5.135 m/s

实际流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.98·0.01227·5.135 = 0.06176 m³/s = 61.76 L/s

答案

Q = 61.76 L/s
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 82.69 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.6²/(2·9.81) = 0.3445 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(400/0.05)·2.6²/(2·9.81) = 82.69 m

答案

hf = 82.69 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 17.1 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s
V²/(2g) = 0.5876 m

损失系数

f·L/D = 0.025·150/0.15 = 25
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

总水头损失

hf = 25·0.5876 = 14.69 m
hm = 4.1·0.5876 = 2.409 m
Δz = hf + hm = 17.1 m

答案

Δz = 17.1 m
7.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 6.414 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·34 = 5.003 kW

轴功率

Pshaft = Ph/η = 5.003/0.78 = 6.414 kW

答案

Pshaft = 6.414 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 26.58 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 8)·0.1291 = 5.293 m

压力水头

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 15.29 + 5.293 = 26.58 m

答案

H = 26.58 m

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