流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 360 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 360 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 130 kPa。喷嘴出口直径为 20 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 130 kPa (表压)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.8 m/s 的平均流速流过一根长 500 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.8 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 100 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 0.2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 40 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 40 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 0.2

H = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 16 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 10.5 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 50 L/sH = 16 mP_shaft = 10.5 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 75%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 40 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 29.43 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·2 = 29.43 kN

答案

F = 29.43 kN

2.静水压力

答案: F = 120.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2·6 = 120.7 kN

答案

F = 120.7 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 359.4 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/75)² = 1.333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.333²)/1000 = −0.6076 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 360 + (−0.6076) = 359.4 kPa

答案

p₂ = 359.4 kPa

4.连续性和伯努利

答案: H = 13.32 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 20/75 = 0.2667

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0.9949)) = 16.17 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 16.17²/(2·9.81) = 13.32 m

答案

H = 13.32 m

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 59.94 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.8²/(2·9.81) = 0.3996 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(500/0.1)·2.8²/(2·9.81) = 59.94 m

答案

h_f = 59.94 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 0.8097 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

损失系数

f·L/D = 0.015·100/0.2 = 7.5

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 = 1.3

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 7.5 + 1.3)·0.08263 = 0.8097 m

答案

H = 0.8097 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 74.74 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·16 = 7.848 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 7.848/10.5 = 74.74%

答案

η = 74.74%

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 6.291 kW

速度

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.5 + 8)·0.08263 = 2.024 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 10 + 2.024 = 12.02 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·12.02/0.75 = 6.291 kW

答案

P_shaft = 6.291 kW

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