流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 110 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 110 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 120 kPa。喷嘴出口直径为 25 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 120 kPa (表压)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.9 m/s 的速度流过一根长 400 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.9 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 11 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 11 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 10 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 78%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 100 L/sH = 10 mη_pump = 78%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 17 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 85%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 75 L/sΔz = 17 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 5η = 85%

P_shaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 29.43 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·3 = 29.43 kN

答案

F = 29.43 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 4.188 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·4.5 = 181 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 3.375/(4·4.5) = 4.188 m

答案

y_cp = 4.188 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 103.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−6.752) = 103.2 kPa

答案

p₂ = 103.2 kPa

4.连续性和伯努利

答案: H = 12.39 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 25/75 = 0.3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·120000/(1000·0.9877)) = 15.59 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 15.59²/(2·9.81) = 12.39 m

答案

H = 12.39 m

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 188.4 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(400/0.25)·2.9²/(2·9.81) = 19.2 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·19.2 = 188384 Pa = 188.4 kPa

答案

Δp = 188.4 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 99.19 L/s

损失系数

f·L/D = 0.025·150/0.2 = 18.75

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

11 = (18.75 + 2.9)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·11/21.65) = 3.157 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.157·0.03142 = 0.09919 m³/s = 99.19 L/s

答案

Q = 99.19 L/s

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 14.29 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·10 = 9.81 kW

轴功率

P_shaft = 9.81/0.78 = 12.58 kW

电功率

P_el = 12.58/0.88 = 14.29 kW

答案

P_el = 14.29 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 17.86 kW

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7.5 + 5)·0.2905 = 3.631 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 17 + 3.631 = 20.63 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·20.63/0.85 = 17.86 kW

答案

P_shaft = 17.86 kW

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