流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 2.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 1.5 mH = 2 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
12d1​ = 200 mm, p1​ = ?d2​ = 150 mm, p2​ = 270 kPa

水以 36 L/s 流过一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 150 mm。窄段的压强为 270 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 36 L/sd1 = 200 mmd2 = 150 mmp2 = 270 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.连续性和伯努利困难
d1​ = 200 mmd2​ = 100 mm12Δh = 160 mm水银Q = ?

一个水平文丘里流量计（入口 200 mm，喉部 100 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 160 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d1 = 200 mmd2 = 100 mmΔh = 160 mmCd = 0.98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 5 L/sD = 50 mmL = 200 mf = 0.022

水以 5 L/s 的流量流过一根长 200 m、内径 50 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 5 L/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 0.2Δz = ?L = 100 m, D = 250 mm, f = 0.0252× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 150 L/s？

Q = 150 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 15 L/sH = 24 m

在一次试验中，水泵以 24 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 5 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 15 L/sH = 24 mPshaft = 5 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
PQ = 50 L/sΔz = 19 mL = 500 m, D = 150 mm, f = 0.018, ΣK = 8

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 19 m 的上游水箱。管道长 500 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 82%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 19 mL = 500 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 8η = 82%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 91.97 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·2.5 = 91.97 kN

答案

F = 91.97 kN
2.静水压力

答案: F = 100.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
闸门d = 1.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.5·4 = 100.6 kN

答案

F = 100.6 kN
3.连续性和伯努利

答案: p1 = 271.4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.036/0.03142 = 1.146 m/s
v2 = Q/A2 = 0.036/0.01767 = 2.037 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 270 + ½·1000·(2.037² − 1.146²)/1000 = 270 + 1.418 = 271.4 kPa

答案

p1 = 271.4 kPa
4.连续性和伯努利

答案: Q = 49.99 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.16 = 19777 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 100/200 = 0.5
v2 = √(2·19777/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.495 m/s

实际流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.98·0.007854·6.495 = 0.04999 m³/s = 49.99 L/s

答案

Q = 49.99 L/s
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 29.08 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.005/0.001963 = 2.546 m/s

速度水头

V²/(2g) = 2.546²/(2·9.81) = 0.3305 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(200/0.05)·2.546²/(2·9.81) = 29.08 m

答案

hf = 29.08 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 5.854 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s
V²/(2g) = 0.4759 m

损失系数

f·L/D = 0.025·100/0.25 = 10
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3

总水头损失

hf = 10·0.4759 = 4.759 m
hm = 2.3·0.4759 = 1.095 m
Δz = hf + hm = 5.854 m

答案

Δz = 5.854 m
7.水泵与泵功率

答案: η = 70.63 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·24 = 3.532 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 3.532/5 = 70.63%

答案

η = 70.63%
8.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 27.96 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0.408 = 27.75 m

泵扬程

H = Δz + hL = 19 + 27.75 = 46.75 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·46.75/0.82 = 27.96 kW

答案

Pshaft = 27.96 kW

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