静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 37 kPa。求测头处的水流速度 v。
p0 − p = 37 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 100 mm，表压为 70 kPa。喷嘴出口直径为 30 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。
d1 = 100 mmp1 = 70 kPa (表压)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 2 m/s 的平均流速流过一根长 100 m、内径 300 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
V = 2 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 200 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 75 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 75 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 58 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 10.4 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 15 L/sH = 58 mPshaft = 10.4 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 14 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 100 L/sΔz = 14 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 5
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 55.18 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·4.5 = 55.18 kN
答案
F = 55.18 kN
2.静水压力
答案: F = 69.13 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.75·2.5 = 69.13 kN
答案
F = 69.13 kN
3.连续性和伯努利
答案: v = 8.602 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
到驻点的伯努利方程
流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·37000/1000) = 8.602 m/s
答案
v = 8.602 m/s
4.连续性和伯努利
答案: H = 7.194 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 30/100 = 0.3
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0.9919)) = 11.88 m/s
射流高度
沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。
H = v2²/(2g) = 11.88²/(2·9.81) = 7.194 m
答案
H = 7.194 m
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 1.903 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度水头
V²/(2g) = 2²/(2·9.81) = 0.2039 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(100/0.3)·2²/(2·9.81) = 1.903 m
答案
hf = 1.903 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 7.669 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
损失系数
f·L/D = 0.022·200/0.2 = 22
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 22 + 3.4)·0.2905 = 7.669 m
答案
H = 7.669 m
7.水泵与泵功率
答案: η = 82.06 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·58 = 8.535 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 8.535/10.4 = 82.06%
答案
η = 82.06%
8.水泵与泵功率
答案: H = 16.33 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 5)·0.2115 = 2.327 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 14 + 2.327 = 16.33 m
答案
H = 16.33 m
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