流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 3 mH = 1.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 2.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
v = ?p0​pp0​ − p = 1100 Pa驻点

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 1100 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p0 − p = 1100 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 200 mm, p1​ = 260 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 75 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 260 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 260 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 3 m/sD = 150 mmL = 800 mf = 0.025

水以 3 m/s 的平均流速流过一根长 800 m、内径 150 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

V = 3 m/sL = 800 mD = 150 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10Δz = 11 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0.0223× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 11 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 11 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
PQ = 60 L/sH = 26 m

一台效率为 75% 的水泵以 26 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 60 L/sH = 26 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 75 L/sΔz = 10 mL = 100 m, D = 200 mm, f = 0.015, ΣK = 8

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 82%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 75 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 8η = 82%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 110.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
闸门d = 3 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·3 = 110.4 kN

答案

F = 110.4 kN
2.静水压力

答案: ycp = 2.048 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
闸门d = 0.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·1.75·5 = 87.98 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.75 + 2.604/(1.75·5) = 2.048 m

答案

ycp = 2.048 m
3.连续性和伯努利

答案: v = 42.82 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·1100/1.2) = 42.82 m/s

答案

v = 42.82 m/s
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 175.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(200/75)² = 3.556 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 3.556²)/1000 = −6.196 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 260 + (−6.196) − 78.48 = 175.3 kPa

答案

p2 = 175.3 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 61.16 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 3²/(2·9.81) = 0.4587 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(800/0.15)·3²/(2·9.81) = 61.16 m

答案

hf = 61.16 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 131.7 L/s

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

损失系数

f·L/D = 0.022·200/0.25 = 17.6
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

11 = (17.6 + 12.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·11/30) = 2.682 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 2.682·0.04909 = 0.1317 m³/s = 131.7 L/s

答案

Q = 131.7 L/s
7.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 20.4 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·26 = 15.3 kW

轴功率

Pshaft = Ph/η = 15.3/0.75 = 20.4 kW

答案

Pshaft = 20.4 kW
8.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 13.01 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7.5 + 8)·0.2905 = 4.503 m

泵扬程

H = Δz + hL = 10 + 4.503 = 14.5 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·14.5/0.82 = 13.01 kW

答案

Pshaft = 13.01 kW

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