静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 3 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水从一个大型敞口水箱经直径 30 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 6 m，流量系数为 0.6。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。
d = 30 mmh = 6 mCd = 0.6g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
一个水平文丘里流量计（入口 150 mm，喉部 100 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 100 mm。流量系数为 0.96。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。
d1 = 150 mmd2 = 100 mmΔh = 100 mmCd = 0.96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.5 m/s 的速度流过一根长 200 m、内径 100 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.5 m/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 200 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 7 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 7 mL = 200 mD = 300 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台水泵以 50 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 80%，驱动它的电动机效率为 90%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 25 L/sH = 50 mηpump = 80%ηmotor = 90%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 22 m 的上游水箱。管道长 500 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 75%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 75 L/sΔz = 22 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水压力
答案: F = 49.05 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN
答案
F = 49.05 kN
2.静水压力
答案: ycp = 4.373 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·3.75 = 156.3 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.25 + 1.953/(4.25·3.75) = 4.373 m
答案
ycp = 4.373 m
3.连续性和伯努利
答案: Q = 4.602 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想射流速度
√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s
实际流量
流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.6·0.0007069·10.85 = 0.004602 m³/s = 4.602 L/s
答案
Q = 4.602 L/s
4.连续性和伯努利
答案: Q = 41.85 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
由压差计求压强差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.1 = 12361 Pa
喉部流速
连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。
β = 100/150 = 0.6667
v2 = √(2·12361/(1000·(1 − 0.1975))) = 5.55 m/s
实际流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.96·0.007854·5.55 = 0.04185 m³/s = 41.85 L/s
答案
Q = 41.85 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 33.75 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(200/0.1)·1.5²/(2·9.81) = 3.44 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·3.44 = 33750 Pa = 33.75 kPa
答案
Δp = 33.75 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 162.4 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.02·200/0.3 = 13.33
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
7 = (13.33 + 12.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·7/26.03) = 2.297 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 2.297·0.07069 = 0.1624 m³/s = 162.4 L/s
答案
Q = 162.4 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pel = 17.03 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·50 = 12.26 kW
轴功率
Pshaft = 12.26/0.8 = 15.33 kW
电功率
Pel = 15.33/0.9 = 17.03 kW
答案
Pel = 17.03 kW
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 41.67 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (62.5 + 8)·0.2905 = 20.48 m
泵扬程
H = Δz + hL = 22 + 20.48 = 42.48 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·42.48/0.75 = 41.67 kW
答案
Pshaft = 41.67 kW
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