静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 250 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 250 kPav1 = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 110 kPa。水从水面以下 5 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 射流速度 v。 取 g = 9.81 m/s²。
pair = 110 kPa (表压)h = 5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.2 m/s 的速度流过一根长 400 m、内径 300 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.2 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 300 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 6 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 6 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台水泵以 14 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 75%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 15 L/sH = 14 mηpump = 75%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 21 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 400 kPa。求水泵须提供的扬程 H。
Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 600 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 6ptank = 400 kPa
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 312.7 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·7.5 = 312.7 kN
答案
F = 312.7 kN
2.静水压力
答案: F = 25.14 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.5·1 = 25.14 kN
答案
F = 25.14 kN
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 239.7 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(75/50)² = 5.063 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 5.063²)/1000 = −10.28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−10.28) = 239.7 kPa
答案
p2 = 239.7 kPa
4.连续性和伯努利
答案: v = 17.84 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
从液面到射流的伯努利方程
v = √(2·(110000/1000 + 9.81·5)) = 17.84 m/s
答案
v = 17.84 m/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 17.28 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(400/0.3)·1.2²/(2·9.81) = 1.761 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·1.761 = 17280 Pa = 17.28 kPa
答案
Δp = 17.28 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 104.4 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.018·300/0.25 = 21.6
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
6 = (21.6 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·6/26) = 2.128 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 2.128·0.04909 = 0.1044 m³/s = 104.4 L/s
答案
Q = 104.4 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pel = 2.922 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·14 = 2.06 kW
轴功率
Pshaft = 2.06/0.75 = 2.747 kW
电功率
Pel = 2.747/0.94 = 2.922 kW
答案
Pel = 2.922 kW
8.水泵与泵功率
答案: H = 88.7 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 6)·0.408 = 26.93 m
压力水头
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m
泵扬程
两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 21 + 40.77 + 26.93 = 88.7 m
答案
H = 88.7 m
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