流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 370 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 370 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 50 mm，同时升高 9 m。截面 1 处压强为 260 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 260 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 150 L/s 的流量流过一根长 150 m、内径 250 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 150 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 25 L/s？

Q = 25 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 14 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 2.9 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 15 L/sH = 14 mP_shaft = 2.9 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 82%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 6η = 82%

P_shaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 119.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3.75 = 119.6 kN

答案

F = 119.6 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.8 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.5·9 = 226.2 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 6.75/(2.5·9) = 2.8 m

答案

y_cp = 2.8 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 360 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 370 + (−10) = 360 kPa

答案

p₂ = 360 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 109.2 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(150/50)² = 11.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 11.25²)/1000 = −62.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 260 + (−62.5) − 88.29 = 109.2 kPa

答案

p₂ = 109.2 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 7.996 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s

速度水头

V²/(2g) = 3.056²/(2·9.81) = 0.4759 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(150/0.25)·3.056²/(2·9.81) = 7.996 m

答案

h_f = 7.996 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 10.02 m

速度

V = Q/A = 0.025/0.007854 = 3.183 m/s

V²/(2g) = 0.5164 m

损失系数

f·L/D = 0.015·100/0.1 = 15

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

总水头损失

h_f = 15·0.5164 = 7.746 m

h_m = 4.4·0.5164 = 2.272 m

Δz = h_f + h_m = 10.02 m

答案

Δz = 10.02 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 71.04 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·14 = 2.06 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 2.06/2.9 = 71.04%

答案

η = 71.04%

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 17.97 kW

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 6)·0.408 = 22.03 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 8 + 22.03 = 30.03 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·30.03/0.82 = 17.97 kW

答案

P_shaft = 17.97 kW

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