静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 270 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 270 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 25 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 210 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 210 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 40 L/s 的流量流过一根长 300 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 40 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 400 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 80 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 80 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.水泵与泵功率中等
一台效率为 75% 的水泵以 16 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 10 L/sH = 16 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 8 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 8 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 8
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 58.86 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN
答案
F = 58.86 kN
2.静水压力
答案: F = 113.1 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.75·3 = 113.1 kN
答案
F = 113.1 kN
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 257.2 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/40)² = 5.273 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 5.273²)/1000 = −12.78 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 270 + (−12.78) = 257.2 kPa
答案
p2 = 257.2 kPa
4.连续性和伯努利
答案: p2 = 190.2 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(75/25)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 210 + (−10) − 9.81 = 190.2 kPa
答案
p2 = 190.2 kPa
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 3.099 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.273²/(2·9.81) = 0.08263 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(300/0.2)·1.273²/(2·9.81) = 3.099 m
答案
hf = 3.099 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 2.222 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m
损失系数
f·L/D = 0.022·400/0.3 = 29.33
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 29.33 + 3.7)·0.06529 = 2.222 m
答案
H = 2.222 m
7.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 2.093 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·16 = 1.57 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 1.57/0.75 = 2.093 kW
答案
Pshaft = 2.093 kW
8.水泵与泵功率
答案: H = 8.279 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.008/0.007854 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0.05288 = 3.279 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 5 + 3.279 = 8.279 m
答案
H = 8.279 m
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