静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 150 mm，喉部直径 75 mm。入口处的压强比喉部高 7 kPa。忽略损失，求流量 Q。
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 7 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 40 kPa。水从水面以下 1 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 射流速度 v。 取 g = 9.81 m/s²。
pair = 40 kPa (表压)h = 1 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.2 m/s 的速度流过一根长 100 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.2 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 150 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 50 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 50 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5
H = m
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 20 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 3.3 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 10 L/sH = 20 mPshaft = 3.3 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 16 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 80 L/sΔz = 16 mL = 600 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 6
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 58.86 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN
答案
F = 58.86 kN
2.静水压力
答案: ycp = 4.083 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·4·4 = 138.1 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 1.333/(4·4) = 4.083 m
答案
ycp = 4.083 m
3.连续性和伯努利
答案: Q = 17.07 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
连续性
v1 = v2·(75/150)² = 0.25·v2
入口与喉部之间的伯努利方程
管道是水平的，所以只有压强和流速变化。
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·7000/(1000·(1 − 0.0625))) = 3.864 m/s
v1 = 0.9661 m/s
流量
Q = A2·v2 = 0.004418·3.864 = 0.01707 m³/s = 17.07 L/s
答案
Q = 17.07 L/s
4.连续性和伯努利
答案: v = 9.981 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
从液面到射流的伯努利方程
v = √(2·(40000/1000 + 9.81·1)) = 9.981 m/s
答案
v = 9.981 m/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 17.28 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(100/0.075)·1.2²/(2·9.81) = 1.761 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·1.761 = 17280 Pa = 17.28 kPa
答案
Δp = 17.28 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 0.8831 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m
损失系数
f·L/D = 0.015·150/0.25 = 9
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 9 + 6.7)·0.05288 = 0.8831 m
答案
H = 0.8831 m
7.水泵与泵功率
答案: η = 59.45 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·20 = 1.962 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 1.962/3.3 = 59.45%
答案
η = 59.45%
8.水泵与泵功率
答案: H = 32.86 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 6)·0.3305 = 16.86 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 16 + 16.86 = 32.86 m
答案
H = 32.86 m
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