土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
土力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
2练习题
1.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 8 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ′ = kPa
2.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。
z = 8 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³黏土: γsat = 18 kN/m³
σ = kPa
3.固结沉降中等
一层厚 5.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.2，Cr = 0.05，e₀ = 1。其中点深度处的竖向有效应力为 110 kPa ，先期固结压力为 140 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 150 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 5.5 mCc = 0.2Cr = 0.05e0 = 1σ′0 = 110 kPaσ′p = 140 kPaΔσ = 150 kPa
S = mm
4.固结沉降困难
一层厚 10 m 的黏土，固结系数 cv = 1.5 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 90% 时，时间因数 Tv = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？
H = 10 mcv = 1.5 m²/年份U = 90%Tv = 0.848单面排水
t = 年
5.静水压力中等
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
6.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 4 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3溶液
1.土中有效应力
答案: σ′ = 91.14 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16.5·2 + 19.5·6 = 150 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·6 = 58.86 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 150 − 58.86 = 91.14 kPa
答案
σ′ = 91.14 kPa
2.土中有效应力
答案: σ = 142.5 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·3 + γsat,sand·3 + γsat,clay·2
σ = 15.5·3 + 20·3 + 18·2 = 142.5 kPa
答案
σ = 142.5 kPa
3.固结沉降
答案: S = 162.3 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 110 + 150 = 260 kPa > 140 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.05·5.5/(1 + 1)·log₁₀(140/110) + 0.2·5.5/(1 + 1)·log₁₀(260/140)
S = 14.4 + 147.9 = 162.3 mm
答案
S = 162.3 mm
4.固结沉降
答案: t = 56.53 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H = 10 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·10²/1.5 = 56.53 年
答案
t = 56.53 年
5.静水压力
答案: F = 101.2 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·3.75 = 101.2 kN
答案
F = 101.2 kN
6.静水压力
答案: ycp = 4.789 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4.75·4.5 = 214.9 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.75 + 0.8438/(4.75·4.5) = 4.789 m
答案
ycp = 4.789 m
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