土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
土力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
2练习题
1.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。
z = 2 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ = kPa
2.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。
z = 7 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³黏土: γsat = 19 kN/m³
σ = kPa
3.固结沉降中等
一层厚 6 m 的超固结黏土，Cc = 0.3，Cr = 0.03，e₀ = 1.05。其中点深度处的竖向有效应力为 95 kPa ，先期固结压力为 175 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 100 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 6 mCc = 0.3Cr = 0.03e0 = 1.05σ′0 = 95 kPaσ′p = 175 kPaΔσ = 100 kPa
S = mm
4.固结沉降困难
在室内固结仪试验中，一个厚 19 mm、上下两面排水的黏土试样在 8 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 10 m 的土层。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？
hlab = 19 mmtlab = 8 minH = 10 m现场：单面排水
t = 天
5.静水压力中等
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
6.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 2.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3溶液
1.土中有效应力
答案: σ = 34.5 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15·1 + 19.5·1 = 34.5 kPa
答案
σ = 34.5 kPa
2.土中有效应力
答案: σ = 129.5 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·2 + γsat,sand·3 + γsat,clay·2
σ = 15·2 + 20.5·3 + 19·2 = 129.5 kPa
答案
σ = 129.5 kPa
3.固结沉降
答案: S = 64.56 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 95 + 100 = 195 kPa > 175 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.03·6/(1 + 1.05)·log₁₀(175/95) + 0.3·6/(1 + 1.05)·log₁₀(195/175)
S = 23.3 + 41.27 = 64.56 mm
答案
S = 64.56 mm
4.固结沉降
答案: t = 6156 天
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m
Hdr,field = 10 m
换算时间
t = Tv·Hdr²/cv，室内和现场的 T_v 和 cv 相同。
tfield = 8·(10/0.0095)² = 8.864 × 10⁶ min
tfield = 8.864 × 10⁶/1440 = 6156 天
答案
t = 6156 天
5.静水压力
答案: F = 242.8 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.5·4.5 = 242.8 kN
答案
F = 242.8 kN
6.静水压力
答案: ycp = 3.028 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·1 = 29.43 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0.08333/(3·1) = 3.028 m
答案
ycp = 3.028 m
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