土力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

土中有效应力

总应力
σ = Σγi·hi
孔隙水压力
u = γw·(z − zw)
有效应力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最终应力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
超固结，σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
超固结比
OCR = σ′p/σ′0
固结时间
t = Tv·Hdr²/cv
排水路径
Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

2练习题

1.土中有效应力中等
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³10 m地下水位Xz = 4 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 4 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³
σ = kPa
2.土中有效应力困难
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 20.5 kN/m³4 m黏土γsat​ = 18.5 kN/m³5 m地下水位Xz = 6.5 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 6.5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³黏土: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
3.固结沉降中等
Δσ = 150 kPa砂黏土Cc​ = 0.25, Cr​ = 0.04e0​ = 0.7σ′0​ = 55 kPaOCR = 1.58 m地下水位

一层厚 8 m 的超固结黏土，Cc = 0.25，Cr = 0.04，e₀ = 0.7。其中点深度处的竖向有效应力为 55 kPa ，超固结比 OCR = 1.5。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 150 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 8 mCc = 0.25Cr = 0.04e0 = 0.7σ′0 = 55 kPaOCR = 1.5Δσ = 150 kPa
S = mm
4.固结沉降困难
砂黏土H = 7.5 mcv​ = 0.8 m²/年份7.5 m不透水岩层地下水位

一层厚 7.5 m 的黏土，固结系数 cv = 0.8 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 60% 时，时间因数 Tv = 0.287。该土层需要多少年 t 才能达到 60% 固结度？

H = 7.5 mcv = 0.8 m²/年份U = 60%Tv = 0.287单面排水
t = 年
5.静水压力中等
闸门d = 2 mH = 3 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
6.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 2.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN

3溶液

1.土中有效应力

答案: σ = 69.5 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16.5·3 + 20·1 = 69.5 kPa

答案

σ = 69.5 kPa
2.土中有效应力

答案: σ′ = 70.29 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·1 + γsat,sand·3 + γsat,clay·2.5
σ = 16.5·1 + 20.5·3 + 18.5·2.5 = 124.3 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 124.3 − 53.96 = 70.29 kPa

答案

σ′ = 70.29 kPa
3.固结沉降

答案: S = 498.2 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′p = OCR·σ′0 = 1.5·55 = 82.5 kPa

与先期固结压力比较

σ′f = 55 + 150 = 205 kPa > 82.5 kPa

沉降

σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.04·8/(1 + 0.7)·log₁₀(82.5/55) + 0.25·8/(1 + 0.7)·log₁₀(205/82.5)
S = 33.15 + 465.1 = 498.2 mm

答案

S = 498.2 mm
4.固结沉降

答案: t = 20.18 年

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

排水路径

Hdr = H = 7.5 m

时间

t = Tv·Hdr²/cv = 0.287·7.5²/0.8 = 20.18 年

答案

t = 20.18 年
5.静水压力

答案: F = 103 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
闸门d = 2 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答案

F = 103 kN
6.静水压力

答案: F = 64.38 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
闸门d = 0.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·3.75 = 64.38 kN

答案

F = 64.38 kN

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