土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
土力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
2练习题
1.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 2 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³
σ′ = kPa
2.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 7 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³黏土: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
3.固结沉降中等
一层厚 7 m 的超固结黏土，Cc = 0.3，Cr = 0.02，e₀ = 0.9。其中点深度处的竖向有效应力为 110 kPa ，超固结比 OCR = 3。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 170 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 7 mCc = 0.3Cr = 0.02e0 = 0.9σ′0 = 110 kPaOCR = 3Δσ = 170 kPa
S = mm
4.固结沉降困难
一层厚 2.5 m 的黏土，固结系数 cv = 2 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 90% 时，时间因数 Tv = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？
H = 2.5 mcv = 2 m²/年份U = 90%Tv = 0.848单面排水
t = 年
5.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
6.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3溶液
1.土中有效应力
答案: σ′ = 27.19 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16.5·1 + 20.5·1 = 37 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·1 = 9.81 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 37 − 9.81 = 27.19 kPa
答案
σ′ = 27.19 kPa
2.土中有效应力
答案: σ′ = 76.95 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·2 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3
σ = 15.5·2 + 19·2 + 19·3 = 126 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 126 − 49.05 = 76.95 kPa
答案
σ′ = 76.95 kPa
3.固结沉降
答案: S = 29.9 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
先期固结压力
σ′p = OCR·σ′0 = 3·110 = 330 kPa
与先期固结压力比较
σ′f = 110 + 170 = 280 kPa ≤ 330 kPa
沉降
黏土始终位于再压缩线上。
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.02·7/(1 + 0.9)·log₁₀(280/110) = 29.9 mm
答案
S = 29.9 mm
4.固结沉降
答案: t = 2.65 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H = 2.5 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·2.5²/2 = 2.65 年
答案
t = 2.65 年
5.静水压力
答案: F = 88.29 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN
答案
F = 88.29 kN
6.静水压力
答案: ycp = 2.048 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.75·7.5 = 162.2 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.75 + 3.906/(1.75·7.5) = 2.048 m
答案
ycp = 2.048 m
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