传热学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

热传导

傅里叶定律
Q̇ = kAΔT/L
导热热阻
R = L/(kA)
对流热阻
R = 1/(hA)
串联热阻
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 值
U = 1/(ΣR·A)

换热器 (LMTD)

热负荷
Q = U·A·ΔTlm
对数平均温差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
物流热量衡算
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2练习题

1.热传导中等
砖, k = 0.72200 mm发泡聚苯乙烯, k = 0.03525 mm18 °C-4 °CTi​ = ?Q̇

一面墙由 200 mm 的砖和 25 mm 的发泡聚苯乙烯组成，面积为 10 m²。外表面温度为 18 °C 和 -4 °C。 求两层交界面处的温度 Ti。

L1 = 200 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 18 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.热传导困难
石膏板, k = 0.17200 mm砖, k = 0.7250 mm室内 21 °C室外 -6 °CQ̇ = ?

由 200 mm 石膏板和 50 mm 砖组成的墙，将 21 °C 的房间与 -6 °C 的室外空气隔开。对流换热系数室内为 6 W/(m²·K)，室外为 20 W/(m²·K)，墙面积为 20 m²。 求通过墙体的热损失 Q̇。

L1 = 200 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -6 °C
Q̇ = W
3.换热器 (LMTD)中等
长度T130 °C105 °C25 °C90 °CΔT₁ΔT₂并流

一台并流换热器传递 100 kW。 其传热面积为 12 m²。热流体从 130 °C 冷却到 105 °C，冷流体从 25 °C 加热到 90 °C。求总传热系数 U。

Q̇ = 100 kWA = 12 m²Th: 130 → 105 °CTc: 25 → 90 °C
U = W/(m²·K)
4.换热器 (LMTD)困难
长度T100 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂冷凝蒸汽

在一台传热面积为 2 m²、U = 1000 W/(m²·K) 的冷凝器中，蒸汽在管外以恒定的 100 °C 冷凝。冷却水（1.5 kg/s，cp = 4.18 kJ/(kg·K)）以 10 °C 进入管内。求水的出口温度 Tc,out。

Ts = 100 °CA = 2 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 1.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.热传导

答案: Ti = 11.84 °C

热阻：通过串联各层的稳态热流类似于通过串联电阻的电流：Q̇ = ΔT/ΣR，导热层 R = L/(kA)，对流表面 R = 1/(hA)。各层的温降与其热阻成正比。

各层热阻

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.72·10) = 0.02778 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.035·10) = 0.07143 K/W

热流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0.09921 = 221.8 W

交界面温度

第一层中温度下降 Q̇·R₁。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 221.8·0.02778 = 11.84 °C

答案

Ti = 11.84 °C
2.热传导

答案: Q̇ = 369.2 W

热阻：通过串联各层的稳态热流类似于通过串联电阻的电流：Q̇ = ΔT/ΣR，导热层 R = L/(kA)，对流表面 R = 1/(hA)。各层的温降与其热阻成正比。

串联热阻

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0.008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.17·20) = 0.05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.72·20) = 0.003472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0.0025 K/W
ΣR = 0.07313 K/W

热损失

Q̇ = (21 − (-6))/0.07313 = 369.2 W

答案

Q̇ = 369.2 W
3.换热器 (LMTD)

答案: U = 180.2 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

两端温差

并流时，两个入口在同一端，两个出口在另一端。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 25 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 105 − 90 = 15 K

对数平均温差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 15)/ln(105/15) = 46.25 K

总传热系数

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 100000/(12·46.25) = 180.2 W/(m²·K)

答案

U = 180.2 W/(m²·K)
4.换热器 (LMTD)

答案: Tc,out = 34.58 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

联立能量平衡与传热方程

取 ΔT₁ = Ts − Tc,in，ΔT₂ = Ts − Tc,out，则 ΔT₁ − ΔT₂ 等于水的温升，所以温升被约去。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·2/(1.5·4180) = 0.319

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−0.319 = 90·0.7269 = 65.42 K
Tc,out = 100 − 65.42 = 34.58 °C

答案

Tc,out = 34.58 °C

传递的热量：Q̇ = 154.1 kW。

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