水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 850 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p₀ − p = 850 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 25 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 300 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 300 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 2 m/s 的平均流速流过一根长 300 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2 m/sL = 300 mD = 150 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 150 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 120 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 75% 的水泵以 68 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sH = 68 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 150 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 75 L/sΔz = 11 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 6p_tank = 150 kPa

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 300 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 300 mmn = 0.013S = 0.003

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 4 m、边坡 2:1（水平:竖直）的梯形植草土渠渠道须以 1.4 m 的水深均匀输送 6.7 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 6.7 m³/sb = 4 my = 1.4 mz = 2n = 0.03

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

2.静水压力

答案: F = 166.9 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·3 = 166.9 kN

答案

F = 166.9 kN

3.连续性和伯努利

答案: v = 37.64 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·850/1.2) = 37.64 m/s

答案

v = 37.64 m/s

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 180.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 300 + (−90) − 29.43 = 180.6 kPa

答案

p₂ = 180.6 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 8.155 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2²/(2·9.81) = 0.2039 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(300/0.15)·2²/(2·9.81) = 8.155 m

答案

h_f = 8.155 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 5.361 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.25 = 13.2

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 13.2 + 3.4)·0.3046 = 5.361 m

答案

H = 5.361 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 44.47 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·68 = 33.35 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 33.35/0.75 = 44.47 kW

答案

P_shaft = 44.47 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 36.75 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0.2905 = 10.46 m

压力水头

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 15.29 + 10.46 = 36.75 m

答案

H = 36.75 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.05297 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.07069 m², R = D/4 = 0.075 m

速度

V = (1/0.013)·0.075^2/3·0.003^1/2 = 0.7493 m/s

流量

Q = A·V = 0.07069·0.7493 = 0.05297 m³/s

答案

Q = 0.05297 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0004926 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4 + 2·1.4)·1.4 = 9.52 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.4·√(1 + 2²) = 10.26 m

R = A/P = 0.9278 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·6.7/(9.52·0.9513) = 0.0222

S = 0.0222² = 0.0004926

答案

S = 0.0004926

即每千米下降 0.4926 m。

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