水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水以 8 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 50 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 8 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 50 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 100 mm，喉部 60 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 250 mm。流量系数为 0.99。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 250 mmC_d = 0.99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 80 L/s 的流量流过一根长 300 m、内径 300 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 80 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 100 m、内径 100 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 15 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 80% 的水泵以 48 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sH = 48 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 12 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 100 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 5

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 900 mm 的混凝土雨水管半满流。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 900 mmn = 0.013S = 0.0005

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 5 m、边坡 2:1（水平:竖直）的梯形砾石渠道须以 1.2 m 的水深均匀输送 7.2 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 7.2 m³/sb = 5 my = 1.2 mz = 2n = 0.025

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 22.07 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·1.5 = 22.07 kN

答案

F = 22.07 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 4.667 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.5·4.5 = 203.6 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 3.375/(4.5·4.5) = 4.667 m

答案

y_cp = 4.667 m

3.连续性和伯努利

答案: p₁ = 51.54 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.008/0.01767 = 0.4527 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.008/0.004418 = 1.811 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 50 + ½·1000·(1.811² − 0.4527²)/1000 = 50 + 1.537 = 51.54 kPa

答案

p₁ = 51.54 kPa

4.连续性和伯努利

答案: Q = 23.59 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.25 = 30902 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 60/100 = 0.6

v₂ = √(2·30902/(1000·(1 − 0.1296))) = 8.426 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.99·0.002827·8.426 = 0.02359 m³/s = 23.59 L/s

答案

Q = 23.59 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 1.632 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.132²/(2·9.81) = 0.06529 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(300/0.3)·1.132²/(2·9.81) = 1.632 m

答案

h_f = 1.632 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 4.908 m

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

损失系数

f·L/D = 0.022·100/0.1 = 22

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 22 + 3.4)·0.1859 = 4.908 m

答案

H = 4.908 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 47.09 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·48 = 37.67 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 37.67/0.8 = 47.09 kW

答案

P_shaft = 47.09 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 14.96 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 5)·0.2115 = 2.961 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 12 + 2.961 = 14.96 m

答案

H = 14.96 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.2024 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.3181 m², R = D/4 = 0.225 m

速度

V = (1/0.013)·0.225^2/3·0.0005^1/2 = 0.6363 m/s

流量

Q = A·V = 0.3181·0.6363 = 0.2024 m³/s

答案

Q = 0.2024 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0005051 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·1.2)·1.2 = 8.88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1.2·√(1 + 2²) = 10.37 m

R = A/P = 0.8566 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·7.2/(8.88·0.902) = 0.02247

S = 0.02247² = 0.0005051

答案

S = 0.0005051

即每千米下降 0.5051 m。

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