水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 180 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 180 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 110 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 110 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.9 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 100 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.9 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 500 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 200 L/s？

Q = 200 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 72% 的水泵以 44 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 100 L/sH = 44 mη = 72%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 29 m 的上游水箱。管道长 500 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 72%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sΔz = 29 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 6 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 1.7 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 6 my = 1.7 mz = 1n = 0.015S = 0.0015

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 375 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1.2 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 375 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 55.18 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.25·4.5 = 55.18 kN

答案

F = 55.18 kN

2.静水压力

答案: F = 44.15 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

答案

F = 44.15 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 171.9 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 180 + (−8.125) = 171.9 kPa

答案

p₂ = 171.9 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 77.26 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/75)² = 3.111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 3.111²)/1000 = −3.308 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 110 + (−3.308) − 29.43 = 77.26 kPa

答案

p₂ = 77.26 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 151.6 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(300/0.1)·1.9²/(2·9.81) = 15.46 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·15.46 = 151620 Pa = 151.6 kPa

答案

Δp = 151.6 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 11.87 m

速度

V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

损失系数

f·L/D = 0.015·500/0.3 = 25

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

总水头损失

h_f = 25·0.408 = 10.2 m

h_m = 4.1·0.408 = 1.673 m

Δz = h_f + h_m = 11.87 m

答案

Δz = 11.87 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 59.95 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·44 = 43.16 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 43.16/0.72 = 59.95 kW

答案

P_shaft = 59.95 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 48 kW

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37.5 + 8)·0.3305 = 15.04 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 29 + 15.04 = 44.04 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·44.04/0.72 = 48 kW

答案

P_shaft = 48 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 38.4 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·1.7)·1.7 = 13.09 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1.7·√(1 + 1²) = 10.81 m

R = A/P = 1.211 m

速度

V = (1/0.015)·1.211^2/3·0.0015^1/2 = 2.934 m/s

流量

Q = A·V = 13.09·2.934 = 38.4 m³/s

答案

Q = 38.4 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.005714 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.2064)² = 0.005714

答案

S = 0.005714

即每千米下降 5.714 m。

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