静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
水力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 1 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 160 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 160 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
一个水平文丘里流量计（入口 150 mm，喉部 75 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 210 mm。流量系数为 0.99。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。
d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 210 mmCd = 0.99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 0.9 m/s 的平均流速流过一根长 200 m、内径 100 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
V = 0.9 m/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 150 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 38 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 38 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台水泵以 28 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 65%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 25 L/sH = 28 mηpump = 65%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 78%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 75 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 3η = 78%
Pshaft = kW
9.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形砾石渠道底宽 6 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 1.4 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 6 my = 1.4 mz = 1.5n = 0.025S = 0.004
Q = m³/s
10.明渠流（曼宁公式）困难
一条底宽 4 m、边坡 3:1（水平:竖直）的梯形砾石渠道 须以 2.1 m 的水深均匀输送 55 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 55 m³/sb = 4 my = 2.1 mz = 3n = 0.025
S = m/m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 154.5 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·4.5 = 154.5 kN
答案
F = 154.5 kN
2.静水压力
答案: ycp = 2.167 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2·3 = 74.16 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 1/(2·3) = 2.167 m
答案
ycp = 2.167 m
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 158.1 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(150/75)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 160 + (−1.875) = 158.1 kPa
答案
p2 = 158.1 kPa
4.连续性和伯努利
答案: Q = 32.55 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
由压差计求压强差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.21 = 25957 Pa
喉部流速
连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。
β = 75/150 = 0.5
v2 = √(2·25957/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.441 m/s
实际流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.99·0.004418·7.441 = 0.03255 m³/s = 32.55 L/s
答案
Q = 32.55 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 1.486 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度水头
V²/(2g) = 0.9²/(2·9.81) = 0.04128 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(200/0.1)·0.9²/(2·9.81) = 1.486 m
答案
hf = 1.486 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 36.56 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.018·150/0.1 = 27
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
38 = (27 + 7.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·38/34.4) = 4.655 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.655·0.007854 = 0.03656 m³/s = 36.56 L/s
答案
Q = 36.56 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pel = 11.48 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·28 = 6.867 kW
轴功率
Pshaft = 6.867/0.65 = 10.56 kW
电功率
Pel = 10.56/0.92 = 11.48 kW
答案
Pel = 11.48 kW
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 14.28 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11.25 + 3)·0.2905 = 4.139 m
泵扬程
H = Δz + hL = 11 + 4.139 = 15.14 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·15.14/0.78 = 14.28 kW
答案
Pshaft = 14.28 kW
9.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 29.19 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (6 + 1.5·1.4)·1.4 = 11.34 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1.4·√(1 + 1.5²) = 11.05 m
R = A/P = 1.026 m
速度
V = (1/0.025)·1.0262/3·0.0041/2 = 2.574 m/s
流量
Q = A·V = 11.34·2.574 = 29.19 m³/s
答案
Q = 29.19 m³/s
10.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.002996 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (4 + 3·2.1)·2.1 = 21.63 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2.1·√(1 + 3²) = 17.28 m
R = A/P = 1.252 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·55/(21.63·1.161) = 0.05473
S = 0.05473² = 0.002996
答案
S = 0.002996
即每千米下降 2.996 m。
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