水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水以 33 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 250 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 33 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 250 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 60 kPa。水从水面以下 3.5 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 60 kPa (表压)h = 3.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.4 m/s 的速度流过一根长 100 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.4 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 30 L/s？

Q = 30 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 72 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 33.2 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 40 L/sH = 72 mP_shaft = 33.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 12 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 70%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 12 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 2.4 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 5 my = 2.4 mz = 3n = 0.015S = 0.0015

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 4 m、边坡 2:1（水平:竖直）的梯形抹面混凝土渠道须以 0.5 m 的水深均匀输送 5.1 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 5.1 m³/sb = 4 my = 0.5 mz = 2n = 0.012

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 132.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·4.5 = 132.4 kN

答案

F = 132.4 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.048 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.75·5 = 87.98 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 2.604/(1.75·5) = 2.048 m

答案

y_cp = 2.048 m

3.连续性和伯努利

答案: p₁ = 257.1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.033/0.01767 = 1.867 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.033/0.007854 = 4.202 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 250 + ½·1000·(4.202² − 1.867²)/1000 = 250 + 7.083 = 257.1 kPa

答案

p₁ = 257.1 kPa

4.连续性和伯努利

答案: v = 13.74 m/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(60000/1000 + 9.81·3.5)) = 13.74 m/s

答案

v = 13.74 m/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 10.78 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(100/0.2)·1.4²/(2·9.81) = 1.099 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·1.099 = 10780 Pa = 10.78 kPa

答案

Δp = 10.78 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 3.78 m

速度

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

损失系数

f·L/D = 0.02·100/0.15 = 13.33

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

总水头损失

h_f = 13.33·0.1469 = 1.959 m

h_m = 12.4·0.1469 = 1.821 m

Δz = h_f + h_m = 3.78 m

答案

Δz = 3.78 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 85.1 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·72 = 28.25 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 28.25/33.2 = 85.1%

答案

η = 85.1%

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 13.11 kW

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s

V²/(2g) = 0.1291 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 8)·0.1291 = 6.713 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 12 + 6.713 = 18.71 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·18.71/0.7 = 13.11 kW

答案

P_shaft = 13.11 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 96.9 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·2.4)·2.4 = 29.28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2.4·√(1 + 3²) = 20.18 m

R = A/P = 1.451 m

速度

V = (1/0.015)·1.451^2/3·0.0015^1/2 = 3.309 m/s

流量

Q = A·V = 29.28·3.309 = 96.9 m³/s

答案

Q = 96.9 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.002027 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4 + 2·0.5)·0.5 = 2.5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0.5·√(1 + 2²) = 6.236 m

R = A/P = 0.4009 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·5.1/(2.5·0.5437) = 0.04503

S = 0.04503² = 0.002027

答案

S = 0.002027

即每千米下降 2.027 m。

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