水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 25 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 1 m，流量系数为 0.6。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 25 mmh = 1 mC_d = 0.6g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 150 mm，喉部 75 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 190 mm。流量系数为 0.96。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmΔh = 190 mmC_d = 0.96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.9 m/s 的平均流速流过一根长 150 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.9 m/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 24 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 24 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 12 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 60%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 150 L/sH = 12 mη_pump = 60%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 72%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 75 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 3η = 72%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 2.5 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 1.3 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 2.5 my = 1.3 mz = 1n = 0.015S = 0.0015

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 250 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.9 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 250 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·3 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 4.373 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.25·2.5 = 131.3 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.25 + 1.302/(4.25·2.5) = 4.373 m

答案

y_cp = 4.373 m

3.连续性和伯努利

答案: Q = 1.305 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.6·0.0004909·4.429 = 0.001305 m³/s = 1.305 L/s

答案

Q = 1.305 L/s

4.连续性和伯努利

答案: Q = 30.02 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.19 = 23485 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 75/150 = 0.5

v₂ = √(2·23485/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.078 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.96·0.004418·7.078 = 0.03002 m³/s = 30.02 L/s

答案

Q = 30.02 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 9.644 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.9²/(2·9.81) = 0.4286 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(150/0.1)·2.9²/(2·9.81) = 9.644 m

答案

h_f = 9.644 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 77.63 L/s

损失系数

f·L/D = 0.015·200/0.15 = 20

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

24 = (20 + 4.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·24/24.4) = 4.393 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.393·0.01767 = 0.07763 m³/s = 77.63 L/s

答案

Q = 77.63 L/s

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 33.44 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·12 = 17.66 kW

轴功率

P_shaft = 17.66/0.6 = 29.43 kW

电功率

P_el = 29.43/0.88 = 33.44 kW

答案

P_el = 33.44 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 12.68 kW

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22.5 + 3)·0.2905 = 7.407 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 5 + 7.407 = 12.41 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·12.41/0.72 = 12.68 kW

答案

P_shaft = 12.68 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 10.99 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 1·1.3)·1.3 = 4.94 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·1.3·√(1 + 1²) = 6.177 m

R = A/P = 0.7997 m

速度

V = (1/0.015)·0.7997^2/3·0.0015^1/2 = 2.225 m/s

流量

Q = A·V = 4.94·2.225 = 10.99 m³/s

答案

Q = 10.99 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.005519 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.1575)² = 0.005519

答案

S = 0.005519

即每千米下降 5.519 m。

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