静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
水力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 200 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 200 kPav1 = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 90 kPa。水从水面以下 3.5 m 处直径 25 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 流量 Q。 取 g = 9.81 m/s²。
pair = 90 kPa (表压)h = 3.5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.5 m/s 的速度流过一根长 100 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 2.5 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 150 m、内径 150 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 50 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 50 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 74 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 9.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 10 L/sH = 74 mPshaft = 9.1 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 75%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 60 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 5η = 75%
Pshaft = kW
9.明渠流（曼宁公式）中等
一根内径 300 mm 的混凝土雨水管半满流。 曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。
D = 300 mmn = 0.013S = 0.005
Q = m³/s
10.明渠流（曼宁公式）困难
一根内径 300 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.6 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。
D = 300 mmn = 0.013V = 0.6 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 29.43 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1·3 = 29.43 kN
答案
F = 29.43 kN
2.静水压力
答案: F = 104.8 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.75·2.25 = 104.8 kN
答案
F = 104.8 kN
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 193.8 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.75·(75/50)² = 3.938 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.75² − 3.938²)/1000 = −6.221 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 200 + (−6.221) = 193.8 kPa
答案
p2 = 193.8 kPa
4.连续性和伯努利
答案: Q = 7.741 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
从液面到射流的伯努利方程
v = √(2·(90000/1000 + 9.81·3.5)) = 15.77 m/s
流量
Q = A·v = 0.0004909·15.77 = 0.007741 m³/s = 7.741 L/s
答案
Q = 7.741 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 28.12 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(100/0.2)·2.5²/(2·9.81) = 2.867 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·2.867 = 28125 Pa = 28.12 kPa
答案
Δp = 28.12 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 11.87 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
损失系数
f·L/D = 0.022·150/0.15 = 22
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 22 + 6.1)·0.408 = 11.87 m
答案
H = 11.87 m
7.水泵与泵功率
答案: η = 79.77 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·74 = 7.259 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 7.259/9.1 = 79.77%
答案
η = 79.77%
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 6.751 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 5)·0.1859 = 2.603 m
泵扬程
H = Δz + hL = 6 + 2.603 = 8.603 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·8.603/0.75 = 6.751 kW
答案
Pshaft = 6.751 kW
9.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 0.03419 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = 0.03534 m², R = D/4 = 0.075 m
速度
V = (1/0.013)·0.0752/3·0.0051/2 = 0.9673 m/s
流量
Q = A·V = 0.03534·0.9673 = 0.03419 m³/s
答案
Q = 0.03419 m³/s
10.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.001924 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
水力半径
R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m
由曼宁公式解 S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.6/0.1778)² = 0.001924
答案
S = 0.001924
即每千米下降 1.924 m。
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