水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 25 mm。宽段压强为 140 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 140 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 100 mm，表压为 150 kPa。喷嘴出口直径为 20 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmp₁ = 150 kPa (表压)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 1.7 m/s 的平均流速流过一根长 800 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 1.7 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 100 L/s？

Q = 100 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 56 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 33.5 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 50 L/sH = 56 mP_shaft = 33.5 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 72%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 6η = 72%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 2 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 2.2 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 2 my = 2.2 mz = 1.5n = 0.012S = 0.0008

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 3 m、边坡 3:1（水平:竖直）的梯形抹面混凝土渠道须以 1.3 m 的水深均匀输送 14 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 14 m³/sb = 3 my = 1.3 mz = 3n = 0.012

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 156.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·3.75 = 156.3 kN

答案

F = 156.3 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 4.789 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.75·2.25 = 132.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.75 + 0.4219/(4.75·2.25) = 4.789 m

答案

y_cp = 4.789 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 108.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/25)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 8²)/1000 = −31.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 140 + (−31.88) = 108.1 kPa

答案

p₂ = 108.1 kPa

4.连续性和伯努利

答案: H = 15.32 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 20/100 = 0.2

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·150000/(1000·0.9984)) = 17.33 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 17.33²/(2·9.81) = 15.32 m

答案

H = 15.32 m

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 32.99 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1.7²/(2·9.81) = 0.1473 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(800/0.1)·1.7²/(2·9.81) = 32.99 m

答案

h_f = 32.99 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 3.025 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

损失系数

f·L/D = 0.02·150/0.25 = 12

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3

总水头损失

h_f = 12·0.2115 = 2.538 m

h_m = 2.3·0.2115 = 0.4865 m

Δz = h_f + h_m = 3.025 m

答案

Δz = 3.025 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 81.99 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·56 = 27.47 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 27.47/33.5 = 81.99%

答案

η = 81.99%

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 9.539 kW

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s

V²/(2g) = 0.1291 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 6)·0.1291 = 4.002 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 10 + 4.002 = 14 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·14/0.72 = 9.539 kW

答案

P_shaft = 9.539 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 30.58 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2 + 1.5·2.2)·2.2 = 11.66 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2.2·√(1 + 1.5²) = 9.932 m

R = A/P = 1.174 m

速度

V = (1/0.012)·1.174^2/3·0.0008^1/2 = 2.623 m/s

流量

Q = A·V = 11.66·2.623 = 30.58 m³/s

答案

Q = 30.58 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0004729 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1.3)·1.3 = 8.97 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.3·√(1 + 3²) = 11.22 m

R = A/P = 0.7993 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·14/(8.97·0.8613) = 0.02175

S = 0.02175² = 0.0004729

答案

S = 0.0004729

即每千米下降 0.4729 m。

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