水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 190 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 190 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 310 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 310 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 1.2 m/s 的平均流速流过一根长 1000 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 1.2 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 25 L/s？

Q = 25 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 70 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 12.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 15 L/sH = 70 mP_shaft = 12.1 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 35 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 120 L/sΔz = 35 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 8

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形清洁土渠渠道底宽 1.5 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 1.7 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1.5 my = 1.7 mz = 2n = 0.022S = 0.0008

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 300 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.9 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 300 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 49.05 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

答案

F = 49.05 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 4.188 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·3 = 120.7 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2.25/(4·3) = 4.188 m

答案

y_cp = 4.188 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 189.4 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/75)² = 1.333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.333²)/1000 = −0.6076 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 190 + (−0.6076) = 189.4 kPa

答案

p₂ = 189.4 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 228.2 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/75)² = 3.111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 3.111²)/1000 = −3.308 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−3.308) − 78.48 = 228.2 kPa

答案

p₂ = 228.2 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 18.35 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1.2²/(2·9.81) = 0.07339 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(1000/0.1)·1.2²/(2·9.81) = 18.35 m

答案

h_f = 18.35 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 17.76 m

速度

V = Q/A = 0.025/0.007854 = 3.183 m/s

V²/(2g) = 0.5164 m

损失系数

f·L/D = 0.02·150/0.1 = 30

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

总水头损失

h_f = 30·0.5164 = 15.49 m

h_m = 4.4·0.5164 = 2.272 m

Δz = h_f + h_m = 17.76 m

答案

Δz = 17.76 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 85.13 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·70 = 10.3 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 10.3/12.1 = 85.13%

答案

η = 85.13%

8.水泵与泵功率

答案: H = 41.09 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 8)·0.3046 = 6.092 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 35 + 6.092 = 41.09 m

答案

H = 41.09 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 10.09 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 2·1.7)·1.7 = 8.33 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.7·√(1 + 2²) = 9.103 m

R = A/P = 0.9151 m

速度

V = (1/0.022)·0.9151^2/3·0.0008^1/2 = 1.212 m/s

流量

Q = A·V = 8.33·1.212 = 10.09 m³/s

答案

Q = 10.09 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.004328 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.1778)² = 0.004328

答案

S = 0.004328

即每千米下降 4.328 m。

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