水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
水力半径
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形
A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流
R = D/4
所需坡度
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 3 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 2.5 mH = 3 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 2.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
d1​ = 300 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 45 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 300 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 45 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 45 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
d1​ = 80 mmd2​ = 40 mm12Δh = 390 mm水银Q = ?

一个水平文丘里流量计（入口 80 mm，喉部 40 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 390 mm。流量系数为 0.96。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d1 = 80 mmd2 = 40 mmΔh = 390 mmCd = 0.96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 20 L/sD = 100 mmL = 800 mf = 0.018

水以 20 L/s 的流量流过一根长 800 m、内径 100 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 20 L/sL = 800 mD = 100 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 5Δz = ?L = 200 m, D = 200 mm, f = 0.024× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 80 L/s？

Q = 80 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 100 L/sH = 48 m

一台水泵以 48 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 65%，驱动它的电动机效率为 95%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 100 L/sH = 48 mηpump = 65%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
300 kPa (表压)PQ = 80 L/sΔz = 12 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0.02, ΣK = 3

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 12 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 300 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 3ptank = 300 kPa
H = m
9.明渠流（曼宁公式）中等
b = 1.5 my = 2.3 m3 : 1n = 0.03, S = 0.0015

一条梯形植草土渠渠道底宽 1.5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 2.3 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1.5 my = 2.3 mz = 3n = 0.03S = 0.0015
Q = m³/s
10.明渠流（曼宁公式）困难
b = 3 my = 1 m1 : 1n = 0.015, Q = 5.9 m³/s

一条底宽 3 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形砖砌渠道 须以 1 m 的水深均匀输送 5.9 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.015。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 5.9 m³/sb = 3 my = 1 mz = 1n = 0.015
S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
闸门d = 0.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN
2.静水压力

答案: ycp = 4.188 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
闸门d = 2.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 4.5/(4·6) = 4.188 m

答案

ycp = 4.188 m
3.连续性和伯努利

答案: Q = 173.1 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(150/300)² = 0.25·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·45000/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.798 m/s
v1 = 2.449 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.01767·9.798 = 0.1731 m³/s = 173.1 L/s

答案

Q = 173.1 L/s
4.连续性和伯努利

答案: Q = 12.23 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.39 = 48206 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 40/80 = 0.5
v2 = √(2·48206/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.14 m/s

实际流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.96·0.001257·10.14 = 0.01223 m³/s = 12.23 L/s

答案

Q = 12.23 L/s
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 47.59 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

速度水头

V²/(2g) = 2.546²/(2·9.81) = 0.3305 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(800/0.1)·2.546²/(2·9.81) = 47.59 m

答案

hf = 47.59 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 9.155 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

损失系数

f·L/D = 0.02·200/0.2 = 20
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

总水头损失

hf = 20·0.3305 = 6.61 m
hm = 7.7·0.3305 = 2.545 m
Δz = hf + hm = 9.155 m

答案

Δz = 9.155 m
7.水泵与泵功率

答案: Pel = 76.26 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·48 = 47.09 kW

轴功率

Pshaft = 47.09/0.65 = 72.44 kW

电功率

Pel = 72.44/0.95 = 76.26 kW

答案

Pel = 76.26 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 48.53 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 3)·0.3305 = 5.949 m

压力水头

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 12 + 30.58 + 5.949 = 48.53 m

答案

H = 48.53 m
9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 28.23 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 3·2.3)·2.3 = 19.32 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·2.3·√(1 + 3²) = 16.05 m
R = A/P = 1.204 m

速度

V = (1/0.03)·1.2042/3·0.00151/2 = 1.461 m/s

流量

Q = A·V = 19.32·1.461 = 28.23 m³/s

答案

Q = 28.23 m³/s
10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0008086 m/m

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·1)·1 = 4 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1·√(1 + 1²) = 5.828 m
R = A/P = 0.6863 m

由曼宁公式解 S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.015·5.9/(4·0.778) = 0.02844
S = 0.02844² = 0.0008086

答案

S = 0.0008086

即每千米下降 0.8086 m。

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