静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
水力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水以 36 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 250 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。
Q = 36 L/sd1 = 100 mmd2 = 75 mmp2 = 250 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.连续性和伯努利困难
水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 300 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 300 kPav1 = 2 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 5 L/s 的流量流过一根长 50 m、内径 75 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 5 L/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 500 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 150 L/s？
Q = 150 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 42 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 72.7 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 150 L/sH = 42 mPshaft = 72.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 75%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 20 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 6η = 75%
Pshaft = kW
9.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形砖砌渠道底宽 1 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 1.8 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 1 my = 1.8 mz = 2n = 0.015S = 0.0008
Q = m³/s
10.明渠流（曼宁公式）困难
一条底宽 5 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形抹面混凝土渠道 须以 2.1 m 的水深均匀输送 43 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 43 m³/sb = 5 my = 2.1 mz = 1n = 0.012
S = m/m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 25.75 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·1.5 = 25.75 kN
答案
F = 25.75 kN
2.静水压力
答案: ycp = 1.4 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1.25·4.5 = 48.56 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.25 + 0.8438/(1.25·4.5) = 1.4 m
答案
ycp = 1.4 m
3.连续性和伯努利
答案: p1 = 272.7 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
流速
v1 = Q/A1 = 0.036/0.007854 = 4.584 m/s
v2 = Q/A2 = 0.036/0.004418 = 8.149 m/s
伯努利方程
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 250 + ½·1000·(8.149² − 4.584²)/1000 = 250 + 22.7 = 272.7 kPa
答案
p1 = 272.7 kPa
4.连续性和伯努利
答案: p2 = 242.8 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 300 + (−8.125) − 49.05 = 242.8 kPa
答案
p2 = 242.8 kPa
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 1.306 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.005/0.004418 = 1.132 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.132²/(2·9.81) = 0.06529 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(50/0.075)·1.132²/(2·9.81) = 1.306 m
答案
hf = 1.306 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: Δz = 9.663 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s
V²/(2g) = 0.2295 m
损失系数
f·L/D = 0.018·500/0.3 = 30
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
总水头损失
hf = 30·0.2295 = 6.886 m
hm = 12.1·0.2295 = 2.777 m
Δz = hf + hm = 9.663 m
答案
Δz = 9.663 m
7.水泵与泵功率
答案: η = 85.01 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·42 = 61.8 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 61.8/72.7 = 85.01%
答案
η = 85.01%
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 5.467 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0.3305 = 11.9 m
泵扬程
H = Δz + hL = 9 + 11.9 = 20.9 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·20.9/0.75 = 5.467 kW
答案
Pshaft = 5.467 kW
9.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 14.71 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (1 + 2·1.8)·1.8 = 8.28 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1.8·√(1 + 2²) = 9.05 m
R = A/P = 0.9149 m
速度
V = (1/0.015)·0.91492/3·0.00081/2 = 1.777 m/s
流量
Q = A·V = 8.28·1.777 = 14.71 m³/s
答案
Q = 14.71 m³/s
10.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.0007926 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (5 + 1·2.1)·2.1 = 14.91 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2.1·√(1 + 1²) = 10.94 m
R = A/P = 1.363 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·43/(14.91·1.229) = 0.02815
S = 0.02815² = 0.0007926
答案
S = 0.0007926
即每千米下降 0.7926 m。
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