静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
水力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 25 mm。宽段压强为 270 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 270 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 350 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 350 kPav1 = 2.25 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 2.1 m/s 的平均流速流过一根长 800 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
V = 2.1 m/sL = 800 mD = 200 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 150 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 34 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 34 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台效率为 75% 的水泵以 74 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 10 L/sH = 74 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 20 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 75%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 100 L/sΔz = 20 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
9.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形未抹面混凝土渠道底宽 4 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 0.8 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 4 my = 0.8 mz = 2n = 0.014S = 0.003
Q = m³/s
10.明渠流（曼宁公式）困难
一根内径 200 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。
D = 200 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 58.86 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN
答案
F = 58.86 kN
2.静水压力
答案: F = 323.7 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.5·6 = 323.7 kN
答案
F = 323.7 kN
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 180 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 270 + (−90) = 180 kPa
答案
p2 = 180 kPa
4.连续性和伯努利
答案: p2 = 282.6 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(100/50)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 350 + (−37.97) − 29.43 = 282.6 kPa
答案
p2 = 282.6 kPa
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 26.97 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度水头
V²/(2g) = 2.1²/(2·9.81) = 0.2248 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(800/0.2)·2.1²/(2·9.81) = 26.97 m
答案
hf = 26.97 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 79.82 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.02·150/0.15 = 20
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
34 = (20 + 12.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·34/32.7) = 4.517 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.517·0.01767 = 0.07982 m³/s = 79.82 L/s
答案
Q = 79.82 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 9.679 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·74 = 7.259 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 7.259/0.75 = 9.679 kW
答案
Pshaft = 9.679 kW
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 36.34 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (28.8 + 8)·0.2115 = 7.784 m
泵扬程
H = Δz + hL = 20 + 7.784 = 27.78 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·27.78/0.75 = 36.34 kW
答案
Pshaft = 36.34 kW
9.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 12.35 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (4 + 2·0.8)·0.8 = 4.48 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0.8·√(1 + 2²) = 7.578 m
R = A/P = 0.5912 m
速度
V = (1/0.014)·0.59122/3·0.0031/2 = 2.756 m/s
流量
Q = A·V = 4.48·2.756 = 12.35 m³/s
答案
Q = 12.35 m³/s
10.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.005161 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
水力半径
R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m
由曼宁公式解 S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.1357)² = 0.005161
答案
S = 0.005161
即每千米下降 5.161 m。
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