投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €2 000，按月复利。求 7 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0003.6% / 12n = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 28 年内每月月末存入 €100。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1005.4% / 12N = 336

FV = €

3.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 4 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 9.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 4y₀ = 9%y₁ = 9.5%

HPR = %

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 9 年后到期，售价为 €1 150。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 9P = €1 150

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 7%，税率为 20%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €1 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €12 000 000，股权资本成本为 9%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 4 年），每张交易价格为 €1 018。税率为 30%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €12 000 000r_e = 9%债券: 5 000 × €1 018票面利率 = 4%n = 4T = 30%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€9 000, €5 000, €8 000, €7 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 5 000CF₃ = 8 000CF₄ = 7 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一笔 €80 000 的投资在 5 年内每年年末回报 €24 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €80 000CF = €24 000n = 5

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2572 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·7 = 84

终值

FV = 2 000·(1 + 0.003)⁸⁴ = 2 000·1.286 = €2 572.22

答案

FV = €2 572.22

2.货币的时间价值

答案: FV = 78232 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·28 = 336

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(4.52 − 1)/0.0045 = €78 231.88

答案

FV = €78 231.88

你自己存入了 €33 600；其余是利息。

3.债券定价与收益率

答案: HPR = 7.662 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €50.00, i = 0.09, N = 4

€50.00·(1 − 0.7084)/0.09 + €1 000·0.7084 = €161.99 + €708.43 = €870.41

卖出价

C = €50.00, i = 0.095, N = 3

€50.00·(1 − 0.7617)/0.095 + €1 000·0.7617 = €125.45 + €761.65 = €887.10

持有期收益率

HPR = (50 + 887.10 − 870.41)/870.41 = 7.662%

答案

HPR = 7.662%

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.984 %

收益率方程

€1 150 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(3%) = €1 233.58, P(4%) = €1 148.71

YTM = 3.984%

答案

YTM = 3.984%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.32 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·9% + 0.2·7%·(1 − 0.2) = 8.32%

答案

WACC = 8.32%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.051 %

债务成本 (YTM)

1018 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 3.51%

市场价值

D = 5 000·€1 018 = €5 090 000

V = €17 090 000, E/V = 0.7022, D/V = 0.2978

WACC

WACC = 0.7022·9% + 0.2978·3.51%·(1 − 0.3) = 7.051%

答案

WACC = 7.051%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5202 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 9 000/1.06 = 8 490.57

CF₂/(1 + 0.06)² = 5 000/1.124 = 4 449.98

CF₃/(1 + 0.06)³ = 8 000/1.191 = 6 716.95

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 7 000/1.262 = 5 544.66

相加

NPV = €5 202.16

答案

NPV = €5 202.16

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.24 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 80 000/24 000 = 3.333

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 15%: 3.352

i = 16%: 3.274

IRR = 15.24%

答案

IRR = 15.24%

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