投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €8 000，共 10 年。年利率为 3%。求该年金的现值 PV。

A = €8 000i = 3%n = 10

PV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 3.6% 的利率借入 €8 000，按月复利，每月月末偿还 €350。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €8 000A = €3503.6% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 6% 时其售价为 €779。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 10P = €779YTM = 6%

c = %

4.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 15 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 097。发行人可在 3 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 097赎回价格 = €1 070赎回时间 3 年

YTC = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €5 000 000。其 WACC 为 6.36%，税前债务成本为 3%，税率为 21%。求股权资本成本 r_e。

E = €3 000 000D = €5 000 000WACC = 6.36%r_d = 3%T = 21%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €15.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2.5%r_m = 7.5%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€21 000, €27 000, €22 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 21 000CF₂ = 27 000CF₃ = 22 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €17 500, €17 000, €16 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 17 000CF₃ = 16 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 68242 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.7441)/0.03 = 8.53

现值

PV = 8 000·8.53 = €68 241.62

答案

PV = €68 241.62

2.货币的时间价值

答案: N = 24 次还款

将年金公式变形

i = 0.003

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0.003/350 = 0.9314

用对数求解

N = −ln(0.9314)/ln(1.003) = 23.71

向上取整到整次还款

23 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 24

答案

N = 24 次还款

3.债券定价与收益率

答案: c = 2.997 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.06)⁻¹⁰ = €558.39

票息

C = (779 − 558.39)/7.36 = €29.97

票面利率

c = 29.97/1000 = 2.997%

答案

c = 2.997%

4.债券定价与收益率

答案: YTC = 5.605 %

收益率方程

1097 = 70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1070/(1 + y)³

数值求解

y = 5%: €1 114.93

y = 6%: €1 085.50

YTC = 5.605%

答案

YTC = 5.605%

到期收益率为 6.001%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 13.01 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC 中的债务部分

0.625·3%·(1 − 0.21) = 1.481%

股权成本

r_e = (6.36% − 1.481%)/0.375 = 13.01%

答案

r_e = 13.01%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.261 %

市场价值

E = 2 000 000·€15.00 = €30 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.5·5% = 10%

权重

V = €34 900 000, E/V = 0.8596, D/V = 0.1404

WACC

WACC = 0.8596·10% + 0.1404·6%·(1 − 0.21) = 9.261%

答案

WACC = 9.261%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −12687 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 21 000/1.06 = 19 811.32

CF₂/(1 + 0.06)² = 27 000/1.124 = 24 029.90

CF₃/(1 + 0.06)³ = 22 000/1.191 = 18 471.62

相加

NPV = €−12 687.15

答案

NPV = €−12 687.15

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 46.89 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(45%) = 566.85

NPV(50%) = −888.89

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 45 + 5·566.85/(566.85 − (−888.89)) = 46.95%

精确: NPV(46.89%) = 0 → IRR = 46.89%

答案

IRR = 46.89%

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