投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €3 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0006% / 12n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 4.2% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €750。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €25 000A = €7504.2% / 12

N = 次还款

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 9%n = 9

P = €

4.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 6 年后到期，售价为 €895。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 6P = €895

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €6 000 000r_e = 9%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

6.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €32.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 3.5%r_m = 8%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €65 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €500 000CF₁ = €65 000g = 2%r = 12%

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €6 000, €6 500, €7 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 500CF₃ = 7 500

IRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 4842 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·8 = 96

终值

FV = 3 000·(1 + 0.005)⁹⁶ = 3 000·1.614 = €4 842.43

答案

FV = €4 842.43

2.货币的时间价值

答案: N = 36 次还款

将年金公式变形

i = 0.0035

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.0035/750 = 0.8833

用对数求解

N = −ln(0.8833)/ln(1.004) = 35.51

向上取整到整次还款

35 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 36

答案

N = 36 次还款

3.债券定价与收益率

答案: P = 574.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.045, N = 18

票息的现值

€10.00·(1 − 0.4528)/0.045 = €121.60

面值的现值

€1 000·0.4528 = €452.80

价格

P = €574.40

答案

P = €574.40

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 10.44 %

收益率方程

€895 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(10%) = €912.89, P(11%) = €873.08

YTM = 10.44%

答案

YTM = 10.44%

5.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.4 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6

WACC

WACC = 0.4·9% + 0.6·4%·(1 − 0.25) = 5.4%

答案

WACC = 5.4%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.395 %

市场价值

E = 2 500 000·€32.00 = €80 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.8·4.5% = 11.6%

权重

V = €122 000 000, E/V = 0.6557, D/V = 0.3443

WACC

WACC = 0.6557·11.6% + 0.3443·7%·(1 − 0.258) = 9.395%

答案

WACC = 9.395%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = 150000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 65 000/(0.12 − 0.02) = 650 000.00

NPV

NPV = 650 000.00 − 500 000 = €150 000.00

答案

NPV = €150 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: IRR = 42.53 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(40%) = 335.28

NPV(45%) = −310.39

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 40 + 5·335.28/(335.28 − (−310.39)) = 42.6%

精确: NPV(42.53%) = 0 → IRR = 42.53%

答案

IRR = 42.53%

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