投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等
年01234€8 000FV = ?

你以名义年利率 4% 投资 €8 000，按季度复利。求 4 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0004% / 4n = 4
FV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…N = ?€20 000€250€250€250€2502.4% / 12

你以每年 2.4% 的利率借入 €20 000，按月复利，每月月末偿还 €250。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €20 000A = €2502.4% / 12
N = 次还款
3.债券定价与收益率中等
年01234€912C = ?C = ?C = ? + €1 000

一只面值为 €1 000 的债券在 4 年后到期，每年付息。到期收益率为 5.5% 时其售价为 €912。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 4P = €912YTM = 5.5%
c = %
4.债券定价与收益率困难
半年0123…18€964€22.50€22.50€22.50 + €1 000

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，分两次半年支付，9 年后到期。其售价为 €964。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5% (2×)n = 9P = €964
YTM = %
5.CAPM 与 WACC中等
WACC = 8.41%所有者权益€5 000 000re​ = ?债务€2 000 000rd​ = 6%T = 25.8%

一家公司的股权价值为 €5 000 000，债务价值为 €2 000 000。其 WACC 为 8.41%，税前债务成本为 6%，税率为 25.8%。求股权资本成本 re。

E = €5 000 000D = €2 000 000WACC = 8.41%rd = 6%T = 25.8%
re = %
6.CAPM 与 WACC困难
rf​ = 2%, rm​ − rf​ = 6%D/E = 0.5所有者权益βL​ = 0.9债务D/E = 1.5所有者权益re​ = ?债务T = 21%

一家公司股票在当前负债权益比 0.5 下的贝塔为 0.9。公司计划把负债权益比提高到 1.5。税率为 21%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 6%。求变化后的股权资本成本 re。

βL = 0.9D/E1 = 0.5D/E2 = 1.5T = 21%rf = 2%rm − rf = 6%
re = %
7.NPV 与 IRR中等
年01234−20 0005 0005 0008 0004 000

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€5 000, €5 000, €8 000, €4 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF0 = −20 000CF1 = 5 000CF2 = 5 000CF3 = 8 000CF4 = 4 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
年0123…8−150 00020 500+4%+4%+4%r = 12%, NPV = ?

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €20 500，之后每年增长 4%，直到第 8 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C0 = €150 000CF1 = €20 500g = 4%n = 8r = 12%
NPV = €

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 9381 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/4 = 0.01
N = m·n = 4·4 = 16

终值

FV = 8 000·(1 + 0.01)16 = 8 000·1.173 = €9 380.63

答案

FV = €9 380.63
2.货币的时间价值

答案: N = 88 次还款

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

将年金公式变形

i = 0.002
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0.002/250 = 0.84

用对数求解

N = −ln(0.84)/ln(1.002) = 87.26

向上取整到整次还款

87 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 88

答案

N = 88 次还款
3.债券定价与收益率

答案: c = 2.989 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.055)−4 = €807.22

票息

C = (912 − 807.22)/3.505 = €29.89

票面利率

c = 29.89/1000 = 2.989%

答案

c = 2.989%
4.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.002 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, N = 18

数值求解

i = 2.501% 每半年

YTM

YTM = 2·2.501% = 5.002%

答案

YTM = 5.002%
5.CAPM 与 WACC

答案: re = 9.993 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC 中的债务部分

0.2857·6%·(1 − 0.258) = 1.272%

股权成本

re = (8.41% − 1.272%)/0.7143 = 9.993%

答案

re = 9.993%
6.CAPM 与 WACC

答案: re = 10.46 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

βU = 0.9/(1 + 0.79·0.5) = 0.6452

按新的 D/E 重新加杠杆

βL = 0.6452·(1 + 0.79·1.5) = 1.41

股权成本（CAPM）

re = 2% + 1.41·6% = 10.46%

答案

re = 10.46%
7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1378 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 5 000/1.07 = 4 672.90
CF2/(1 + 0.07)2 = 5 000/1.145 = 4 367.19
CF3/(1 + 0.07)3 = 8 000/1.225 = 6 530.38
CF4/(1 + 0.07)4 = 4 000/1.311 = 3 051.58

相加

NPV = €−1 377.95

答案

NPV = €−1 377.95

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: NPV = −35390 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.12))8 = 0.5527
PV = 20 500/(0.12 − 0.04)·(1 − 0.5527) = 114 609.84

NPV

NPV = 114 609.84 − 150 000 = −€35 390.16

答案

NPV = −€35 390.16

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

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