投资与估值：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 4% 的利率连续复利投资 €5 000。求 19 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 4%t = 19

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在第 10 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0007.2% / 12N = 240k = 120

B = €

3.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 2.5%n = 5

P = €

4.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，分两次半年支付，9 年后到期。其售价为 €962。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3% (2×)n = 9P = €962

YTM = %

5.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €8 000 000，债务价值为 €3 000 000。其 WACC 为 7.56%，税前债务成本为 5%，税率为 25.8%。求股权资本成本 r_e。

E = €8 000 000D = €3 000 000WACC = 7.56%r_d = 5%T = 25.8%

r_e = %

6.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €42.00；其股权账面价值为 €50 400 000。公司刚支付了每股 €2.30 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €25 200 000，税前成本为 4%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €42.00股权账面价值 = €50 400 000D₀ = €2.30g = 5%D = €25 200 000r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

7.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€19 000, €16 000, €17 000, €14 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 16 000CF₃ = 17 000CF₄ = 14 000

NPV = €

8.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €13 000, €11 500, €15 000。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 13 000CF₂ = 11 500CF₃ = 15 000

MIRR = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 10691 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.04·19 = 0.76

e^0.76 = 2.138

终值

FV = 5 000·2.138 = €10 691.38

答案

FV = €10 691.38

2.货币的时间价值

答案: B = 168033 €

月供

i = 0.006, N = 240

A = 250 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻²⁴⁰) = €1 968.37

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 120 = 120

B = 1968·(1 − (1 + 0.006)⁻¹²⁰)/0.006 = €168 033.27

答案

B = €168 033.27

3.债券定价与收益率

答案: P = 976.6 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.0125, N = 10

票息的现值

€10.00·(1 − 0.8832)/0.0125 = €93.46

面值的现值

€1 000·0.8832 = €883.18

价格

P = €976.64

答案

P = €976.64

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

4.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.496 %

每期

C = €15.00, N = 18

数值求解

i = 1.748% 每半年

YTM

YTM = 2·1.748% = 3.496%

答案

YTM = 3.496%

5.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.004 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727

WACC 中的债务部分

0.2727·5%·(1 − 0.258) = 1.012%

股权成本

r_e = (7.56% − 1.012%)/0.7273 = 9.004%

答案

r_e = 9.004%

6.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.954 %

股权成本

D₁ = 2.3·1.05 = €2.42

r_e = 2.415/42 + 0.05 = 10.75%

市场价值

E = 2 000 000·€42.00 = €84 000 000

V = €109 200 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·10.75% + 0.2308·4%·(1 − 0.258) = 8.954%

答案

WACC = 8.954%

7.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1189 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 19 000/1.05 = 18 095.24

CF₂/(1 + 0.05)² = 16 000/1.103 = 14 512.47

CF₃/(1 + 0.05)³ = 17 000/1.158 = 14 685.24

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 14 000/1.216 = 11 517.83

相加

NPV = €−1 189.22

答案

NPV = €−1 189.22

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

8.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 20.17 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

13 000·1.1² = 15 730.00

11 500·1.1¹ = 12 650.00

15 000·1.1⁰ = 15 000.00

TV = 43 380.00

MIRR

MIRR = (43 380.00/25 000)^1/3 − 1 = 20.17%

答案

MIRR = 20.17%

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