货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
投资与估值：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 6% 的利率连续复利投资 €20 000。求 7 年后的价值 FV。
PV = €20 000r = 6%t = 7
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在每年年初存入 €2 500，共 25 年，第一笔今天存入。账户年利率为 6%。第 25 年年末账户里有多少钱？求 FV。
A = €2 500i = 6%n = 25
FV = €
3.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 3% 时其售价为 €1 427。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 10P = €1 427YTM = 3%
c = %
4.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 17 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 091。发行人可在 4 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 091赎回价格 = €1 090赎回时间 4 年
YTC = %
5.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 0.8 的股票要求回报为 7.2%。无风险利率为 4%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 0.8re = 7.2%rf = 4%
rm = %
6.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €43.50；其股权账面价值为 €52 200 000。公司刚支付了每股 €2.90 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €52 200 000，税前成本为 6%。税率为 28%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 2 000 000P0 = €43.50股权账面价值 = €52 200 000D0 = €2.90g = 4%D = €52 200 000rd = 6%T = 28%
WACC = %
7.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€7 000, €8 000, €5 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 8 000CF3 = 5 000
NPV = €
8.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €13 000, €12 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 12 500
IRR = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 30439 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.06·7 = 0.42
e0.42 = 1.522
终值
FV = 20 000·1.522 = €30 439.23
答案
FV = €30 439.23
2.货币的时间价值
答案: FV = 145391 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
普通年金系数
((1 + 0.06)25 − 1)/0.06 = 54.86
先付年金
每笔存款都多投资一年。
FV = 2 500·54.86·1.06 = €145 390.96
答案
FV = €145 390.96
3.债券定价与收益率
答案: c = 8.006 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.03)−10 = €744.09
票息
C = (1427 − 744.09)/8.53 = €80.06
票面利率
c = 80.06/1000 = 8.006%
答案
c = 8.006%
4.债券定价与收益率
答案: YTC = 8.229 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1091 = 90·(1 − (1 + y)−4)/y + 1090/(1 + y)4
数值求解
y = 8%: €1 099.27
y = 9%: €1 063.76
YTC = 8.229%
答案
YTC = 8.229%
到期收益率为 8.002%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
5.CAPM 与 WACC
答案: rm = 8 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (7.2% − 4%)/0.8 = 4%
市场回报
rm = 4% + 4% = 8%
答案
rm = 8%
6.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.453 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 2.9·1.04 = €3.02
re = 3.016/43.5 + 0.04 = 10.93%
市场价值
E = 2 000 000·€43.50 = €87 000 000
V = €139 200 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC
WACC = 0.625·10.93% + 0.375·6%·(1 − 0.28) = 8.453%
答案
WACC = 8.453%
7.NPV 与 IRR
答案: NPV = −1758 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 7 000/1.05 = 6 666.67
CF2/(1 + 0.05)2 = 8 000/1.103 = 7 256.24
CF3/(1 + 0.05)3 = 5 000/1.158 = 4 319.19
相加
NPV = €−1 757.91
答案
NPV = €−1 757.91
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
8.NPV 与 IRR
答案: IRR = 17.98 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(15%) = 756.14
NPV(20%) = −486.11
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 15 + 5·756.14/(756.14 − (−486.11)) = 18.04%
精确: NPV(17.98%) = 0 → IRR = 17.98%
答案
IRR = 17.98%
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