齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 22 kW、转速 2900 rpm 的电动机驱动一个齿数为 25、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 22 kWn = 2900 rpmN1 = 25m = 2.5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（60 齿）。求输出转速 nout。
nin = 2900 rpmA = 36B = 40C = 25D = 60
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 20 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 0.8 m、距 B 0.5 m 的 C 处施加 750 N·m 的扭矩。 求墙 A 处的反扭矩 TA。
d = 20 mmT0 = 750 N·ma = 0.8 mb = 0.5 m
TA = N·m
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 60 MPa，σᵧ = 10 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 60 MPaσy = 10 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −70 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 60° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = −70 MPaσy = 0 MPaτxy = 10 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 30 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 30 kN第 1 段：Ø25 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 10 kgk = 40 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 25 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 20 kgk1 = 40 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 2318 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 22000/303.7 = 72.44 N·m
分度圆直径
d = m·N = 2.5·25 = 62.5 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·72.44/0.0625 = 2318 N
答案
Ft = 2318 N
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 1088 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 2900·36/40 = 2610 rpm = nC
第二级
nout = 2610·25/60 = 1088 rpm
答案
nout = 1088 rpm
总传动比 = 2.667 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 1.754 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·251327) = 0.03061 rad
φ = 0.03061·180/π = 1.754°
答案
φ = 1.754°
4.轴的扭转
答案: TA = 288.5 N·m
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0.5/1.3 = 288.5 N·m
TB = 750·0.8/1.3 = 461.5 N·m
答案
TA = 288.5 N·m
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 31.72 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·50, 60 − 10) = 63.43°
单元体上的角度
θp = 31.72°
答案
θp = 31.72°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = 25.31 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −−35·0.866 + 10·−0.5 = 25.31 MPa
答案
τθ = 25.31 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 54.8 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706.9) = 2.572 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/4.562 × 10⁻⁶ = 54805 N = 54.8 kN
答案
P = 54.8 kN
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 149.2 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 61.12 MPa
σ2 = 149.2 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 149.2 MPa
答案
σmax = 149.2 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 13.82 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
计算长度
KL = 2·2000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/4000² = 13817 N = 13.82 kN
答案
Pcr = 13.82 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 16.11 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
回转半径和长细比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/5 = 350
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16.11 MPa
答案
σcr = 16.11 MPa
11.机械振动
答案: fd = 8.989 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(40000/10) = 63.25 rad/s
fn = 63.25/(2π) = 10.07 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.45²) = 8.989 Hz
答案
fd = 8.989 Hz
12.机械振动
答案: fn = 4.728 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 40 + 20 = 60 kN/m
keq = 60·25/(60 + 25) = 17.65 kN/m
固有频率
ωn = √(17647/20) = 29.7 rad/s
fn = 29.7/(2π) = 4.728 Hz
答案
fn = 4.728 Hz
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