齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 128 mm。须用一对模数为 4 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？
a = 128 mmm = 4 mmi = 3
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 1440 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮与一个 450 mm 的带轮相连；中心距为 500 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 1200 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 150 mmn1 = 1440 rpmd2 = 450 mmC = 500 mmμ = 0.25T1 = 1200 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 750 rpm 下传递 10 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 10 kWN = 750 rpmdo = 40 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −40 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = −60 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = −40 MPaσy = −60 MPaτxy = −60 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 40 mm 的实心轴承受1500 N·m 的弯矩，同时承受 1000 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 40 mmM = 1500 N·mT = 1000 N·m
σ1 = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 90 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 20 kN第 1 段：Ø25 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 70 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 70 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 5 kg 的质量块挂在刚度为 150 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 5 kgk = 150 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N2 = 48
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·128/4 = 64
按传动比分配
N1 = 64/(1 + 3) = 16
N2 = 3·16 = 48
答案
N2 = 48
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 6.366 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.532 rad
松边张力
eμθ = e0.6331 = 1.883, T₂ = 1200/1.883 = 637.2 N
功率
P = (1200 − 637.2)·11.31 = 6.366 kW
答案
P = 6.366 kW
3.轴的扭转
答案: φ = 5.343 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(80000·251327) = 0.09325 rad
φ = 0.09325·180/π = 5.343°
答案
φ = 5.343°
4.轴的扭转
答案: τmax = 14.82 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m
极惯性矩
J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 127324·20/171806 = 14.82 MPa
答案
τmax = 14.82 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 60.83 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = −50 MPa, R = √(10² + (−60)²) = 60.83 MPa
σ1 = 10.83 MPa, σ2 = −110.8 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(121.7, 10.83, 110.8)/2 = 60.83 MPa
答案
τabs = 60.83 MPa
这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 262.8 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·40³) = 238.7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79.58 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 119.4 MPa
R = √(119.4² + 79.58²) = 143.5 MPa
σ1 = C + R = 262.8 MPa
σ2 = C − R = −24.09 MPa
答案
σ1 = 262.8 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 2449 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 90·1000/314.2 = 286.5 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 286.5/117000 = 0.002449 = 2449 µε
答案
ε = 2449 µε
8.轴向应力与应变
答案: δ = 3.06 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 40.74 MPa
σ2 = 176.8 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 40.74·1000/100000 = 0.4074 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 176.8·1500/100000 = 2.653 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.06 mm
答案
δ = 3.06 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 15.54 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/2000² = 15545 N = 15.54 kN
答案
Pcr = 15.54 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 44.9 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·70000 = 175000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 44.9 mm
答案
d = 44.9 mm
校核：长细比 KL/r 为 133.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 24.62 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(150000/5) = 173.2 rad/s
fn = 173.2/(2π) = 27.57 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 27.57·√(1 − 0.45²) = 24.62 Hz
答案
fd = 24.62 Hz
12.机械振动
答案: fn = 6.752 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 30 + 15 = 45 kN/m
固有频率
ωn = √(45000/25) = 42.43 rad/s
fn = 42.43/(2π) = 6.752 Hz
答案
fn = 6.752 Hz
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