齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 15 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 15 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。 忽略损失。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 15 kWn1 = 2900 rpmN1 = 15N2 = 80η = 100%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 2880 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 202.5 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？
nin = 2880 rpmA = 18B = 80C = 25nout = 202.5 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 50 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1000 rpm 下传递 50 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 50 kWN = 1000 rpmdo = 60 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 110 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = 40 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 110 MPaσy = −70 MPaτxy = 40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 30 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 20 kNd = 25 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 20 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 60 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 100 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 10 kgk = 40 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 100 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 49.39 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/303.7 = 49.39 N·m
答案
T1 = 49.39 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: ND = 80
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中间轴转速
nB = nC = 2880·18/80 = 648 rpm
齿轮 D 的齿数
ND = C·nC/nout = 25·648/202.5 = 80
答案
ND = 80
3.轴的扭转
答案: φ = 1.796 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(26000·613592) = 0.03134 rad
φ = 0.03134·180/π = 1.796°
答案
φ = 1.796°
4.轴的扭转
答案: τmax = 19.07 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m
极惯性矩
J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 477465·30/751193 = 19.07 MPa
答案
τmax = 19.07 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 98.49 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 20 MPa, R = √(90² + 40²) = 98.49 MPa
σ1 = 118.5 MPa, σ2 = −78.49 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(197, 118.5, 78.49)/2 = 98.49 MPa
答案
τabs = 98.49 MPa
这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 32.68 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 70 + −40·0.5 + 20·−0.866 = 32.68 MPa
答案
σθ = 32.68 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 1.222 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 40.74/100000 = 0.0004074 = 407.4 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.0004074·3000 mm = 1.222 mm
答案
δ = 1.222 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 27.68 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 100000·2827/500 = 565487 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 100000·565487/722566 = 78261 N
应力
σ2 = 78261/2827 = 27.68 MPa （压缩）
答案
σ2 = 27.68 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 6.89 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 1·6000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6.89 kN
答案
Pcr = 6.89 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 15.67 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/10 = 210
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15.67 MPa
答案
σcr = 15.67 MPa
11.机械振动
答案: fd = 8.053 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(40000/10) = 63.25 rad/s
fn = 63.25/(2π) = 10.07 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.6²) = 8.053 Hz
答案
fd = 8.053 Hz
12.机械振动
答案: fn = 7.797 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 100 + 20 = 120 kN/m
固有频率
ωn = √(120000/50) = 48.99 rad/s
fn = 48.99/(2π) = 7.797 Hz
答案
fn = 7.797 Hz
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