齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.1 kW、2900 rpm 的电动机驱动一个 4 头的蜗杆。蜗轮有 45 个齿，传动效率为 55%。求蜗轮轴上的输出转矩 Tw。
z = 4Nw = 45n = 2900 rpmP = 1.1 kWη = 55%
Tw = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（12 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（16 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（24 齿）。求输出转速 nout。
nin = 2900 rpmA = 12B = 16C = 18D = 24
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1500 rpm 下传递 5 kW。 其内径为外径的 0.7 倍，切应力不得超过 80 MPa。求最小外径 do。
P = 5 kWN = 1500 rpmdi/do = 0.7τallow = 80 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 110 MPa，σᵧ = 50 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 110 MPaσy = 50 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 70 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 275 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 70 MPaσy = 30 MPaτxy = −20 MPaσY = 275 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 300 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.3 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 65 kN第 1 段：Ø30 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 45 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 8 kg 的质量块由刚度为 15 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 170 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 8 kgk = 15 kN/mc = 170 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 50 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 20 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 20 kgk1 = 20 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Tw = 22.41 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
蜗轮转速
nw = n·z/Nw = 2900·4/45 = 257.8 rpm
输出扭矩
ωw = 2π·257.8/60 = 26.99 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.55·1100/26.99 = 22.41 N·m
答案
Tw = 22.41 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 1631 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 2900·12/16 = 2175 rpm = nC
第二级
nout = 2175·18/24 = 1631 rpm
答案
nout = 1631 rpm
总传动比 = 1.778 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 17.54 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·3000/(39000·251327) = 0.3061 rad
φ = 0.3061·180/π = 17.54°
答案
φ = 17.54°
4.轴的扭转
答案: do = 13.87 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m
由容许应力求外径
T = 31.83 N·m = 31831 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·31831/(π·80·0.7599)) = 13.87 mm
di = 0.7·13.87 = 9.707 mm
答案
do = 13.87 mm
实心轴需要 d = 12.65 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 29.52 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·50, 110 − 50) = 59.04°
单元体上的角度
θp = 29.52°
答案
θp = 29.52°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 3.929
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 50 MPa, R = 28.28 MPa
σ1 = 78.28 MPa, σ2 = 21.72 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(78.28² − 78.28·21.72 + 21.72²) = 70 MPa
n = 275/70 = 3.929
答案
n = 3.929
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: P = 45.51 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.3/6.593 × 10⁻⁶ = 45506 N = 45.51 kN
答案
P = 45.51 kN
8.轴向应力与应变
答案: δ = 2.855 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 91.96 MPa
σ2 = 206.9 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 91.96·1000/117000 = 0.786 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 206.9·1000/100000 = 2.069 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.855 mm
答案
δ = 2.855 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 8.583 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2100² = 8583 N = 8.583 kN
答案
Pcr = 8.583 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 74.74 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 74.74 mm
答案
d = 74.74 mm
校核：长细比 KL/r 为 149.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.2454
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·8) = 692.8 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 170/692.8 = 0.2454
答案
ζ = 0.2454
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 5.305 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 20 + 20 = 40 kN/m
keq = 40·50/(40 + 50) = 22.22 kN/m
固有频率
ωn = √(22222/20) = 33.33 rad/s
fn = 33.33/(2π) = 5.305 Hz
答案
fn = 5.305 Hz
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