齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.1 kW、转速 960 rpm 的电动机驱动一个齿数为 16、模数为 5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 1.1 kWn = 960 rpmN1 = 16m = 5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 2880 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮与一个 300 mm 的带轮相连；中心距为 500 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 600 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 80 mmn1 = 2880 rpmd2 = 300 mmC = 500 mmμ = 0.25T1 = 600 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心黄铜轴在 A 端固定。AB 段直径 60 mm，长 1.5 m；BC 段直径 50 mm，长 2.5 m。自由端 C 作用 200 N·m 的扭矩。 求端部 C 的扭转角 φC，以度表示。
T = 200 N·md1 = 60 mm, L1 = 1.5 md2 = 50 mm, L2 = 2.5 mG = 39 GPa
φC = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 500 rpm 下传递 100 kW。 其内径为外径的 0.7 倍，切应力不得超过 50 MPa。求最小外径 do。
P = 100 kWN = 500 rpmdi/do = 0.7τallow = 50 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 0 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 0 MPaσy = −30 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 0 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 20° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 0 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaθ = 20°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 300 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 25 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 30 mm，长 300 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 80 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 55 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 55 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 5 kg 的质量块挂在刚度为 12 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 5 kgk = 12 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 40 kgk1 = 80 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 273.5 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 1100/100.5 = 10.94 N·m
分度圆直径
d = m·N = 5·16 = 80 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·10.94/0.08 = 273.5 N
答案
Ft = 273.5 N
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 3.551 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.698 rad
松边张力
eμθ = e0.6745 = 1.963, T₂ = 600/1.963 = 305.6 N
功率
P = (600 − 305.6)·12.06 = 3.551 kW
答案
P = 3.551 kW
3.轴的扭转
答案: φC = 1.544 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J1 = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
各段的扭转角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 200000·1500/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.006046 rad
φBC = 200000·2500/(39000·613592) = 0.02089 rad
总扭转角
φC = 0.006046 + 0.02089 = 0.02694 rad = 1.544°
答案
φC = 1.544°
4.轴的扭转
答案: do = 63.5 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
由容许应力求外径
T = 1910 N·m = 1.91 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.91 × 10⁶/(π·50·0.7599)) = 63.5 mm
di = 0.7·63.5 = 44.45 mm
答案
do = 63.5 mm
实心轴需要 d = 57.94 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −16.85 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−10, 0 − −30) = −33.69°
单元体上的角度
θp = −16.85°
答案
θp = −16.85°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = 6.912 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −25·0.6428 + 30·0.766 = 6.912 MPa
答案
τθ = 6.912 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 52.85 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/4.73 × 10⁻⁶ = 52849 N = 52.85 kN
答案
P = 52.85 kN
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 51.67 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 70000·706.9/300 = 164934 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 80000·164934/361283 = 36522 N
应力
σ2 = 36522/706.9 = 51.67 MPa （压缩）
答案
σ2 = 51.67 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 284.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1250² = 284245 N = 284.2 kN
答案
Pcr = 284.2 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 72.25 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 72.25 mm
答案
d = 72.25 mm
校核：长细比 KL/r 为 221.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 6.963 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(12000/5) = 48.99 rad/s
fn = 48.99/(2π) = 7.797 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 7.797·√(1 − 0.45²) = 6.963 Hz
答案
fd = 6.963 Hz
12.机械振动
答案: fn = 3.355 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 80 + 80 = 160 kN/m
keq = 160·20/(160 + 20) = 17.78 kN/m
固有频率
ωn = √(17778/40) = 21.08 rad/s
fn = 21.08/(2π) = 3.355 Hz
答案
fn = 3.355 Hz
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