齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.1 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 25 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 1.1 kWn1 = 960 rpmN1 = 25N2 = 72η = 95%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（30 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（40 齿）。求输出转速 nout。
nin = 1440 rpmA = 15B = 45C = 30D = 40
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 20 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 300 rpm 下传递 5 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 50 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 10 MPa（拉为正）。单元体按顺时针 20°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = 50 MPaσy = −10 MPaτxy = 10 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 15° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 70 MPaσy = 60 MPaτxy = −20 MPaθ = 15°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.5 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 75 kN第 1 段：Ø30 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 130 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 130 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 40 kg 的质量块挂在刚度为 12 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.7。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 40 kgk = 12 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 12 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 40 kgk1 = 25 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 10.94 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/100.5 = 10.94 N·m
答案
T1 = 10.94 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 360 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 1440·15/45 = 480 rpm = nC
第二级
nout = 480·30/40 = 360 rpm
答案
nout = 360 rpm
总传动比 = 4 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 7.015 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·15708) = 0.1224 rad
φ = 0.1224·180/π = 7.015°
答案
φ = 7.015°
4.轴的扭转
答案: d = 27.26 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·40)) = 27.26 mm
答案
d = 27.26 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = 3.447 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = 20 − 30·0.766 − 10·(−0.6428) = 3.447 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = 36.55 MPa, σx′ + σy′ = 40 = σx + σy
答案
σy′ = 3.447 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −19.82 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −5·0.5 + −20·0.866 = −19.82 MPa
答案
τθ = −19.82 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 70.54 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706.9) = 5.895 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.5/7.088 × 10⁻⁶ = 70539 N = 70.54 kN
答案
P = 70.54 kN
8.轴向应力与应变
答案: δ = 2.494 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 106.1 MPa
σ2 = 238.7 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 106.1·500/117000 = 0.4534 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 238.7·1000/117000 = 2.04 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.494 mm
答案
δ = 2.494 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 222.1 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1000² = 222066 N = 222.1 kN
答案
Pcr = 222.1 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 108.9 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·130000 = 390000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 108.9 mm
答案
d = 108.9 mm
校核：长细比 KL/r 为 128.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 1.969 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(12000/40) = 17.32 rad/s
fn = 17.32/(2π) = 2.757 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.757·√(1 − 0.7²) = 1.969 Hz
答案
fd = 1.969 Hz
12.机械振动
答案: fn = 2.559 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 25 + 50 = 75 kN/m
keq = 75·12/(75 + 12) = 10.34 kN/m
固有频率
ωn = √(10345/40) = 16.08 rad/s
fn = 16.08/(2π) = 2.559 Hz
答案
fn = 2.559 Hz
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