齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 7.5 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 16、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 7.5 kWn = 1440 rpmN1 = 16m = 2.5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 2880 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮与一个 500 mm 的带轮相连；中心距为 1200 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 2000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 100 mmn1 = 2880 rpmd2 = 500 mmC = 1200 mmμ = 0.25T1 = 2000 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 500 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 3000 rpm 下传递 100 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 100 kWN = 3000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 100 MPaσy = −80 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 160 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 50° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 160 MPaσy = 70 MPaτxy = −40 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 90 kNd = 10 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa，许用应力 50 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 10 kgk = 40 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 12 kN/m，下弹簧 k₂ = 50 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 12 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 2487 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T = P/ω = 7500/150.8 = 49.74 N·m
分度圆直径
d = m·N = 2.5·16 = 40 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·49.74/0.04 = 2487 N
答案
Ft = 2487 N
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 15.21 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.807 rad
松边张力
eμθ = e0.7017 = 2.017, T₂ = 2000/2.017 = 991.5 N
功率
P = (2000 − 991.5)·15.08 = 15.21 kW
答案
P = 15.21 kW
3.轴的扭转
答案: φ = 4.619 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(39000·79522) = 0.08061 rad
φ = 0.08061·180/π = 4.619°
答案
φ = 4.619°
4.轴的扭转
答案: d = 27.86 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27.86 mm
答案
d = 27.86 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 90.55 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((100 − −80)/2)² + −10²) = 90.55 MPa
答案
τmax = 90.55 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 67.79 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 115 + 45·−0.1736 + −40·0.9848 = 67.79 MPa
答案
σθ = 67.79 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 9794 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 90·1000/78.54 = 1146 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 1146/117000 = 0.009794 = 9794 µε
答案
ε = 9794 µε
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 441.1 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·8482 = 7.351 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.0006, 0.0007143) = 0.0006 (钢)
最大载荷
Pmax = 0.0006·7.351 × 10⁸ = 441080 N = 441.1 kN
答案
Pmax = 441.1 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 25.7 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
计算长度
KL = 1·2000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2000² = 25702 N = 25.7 kN
答案
Pcr = 25.7 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 21.93 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/20 = 300
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa
答案
σcr = 21.93 MPa
11.机械振动
答案: fd = 9.429 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(40000/10) = 63.25 rad/s
fn = 63.25/(2π) = 10.07 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.35²) = 9.429 Hz
答案
fd = 9.429 Hz
12.机械振动
答案: fn = 2.214 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/12 + 1/50 → keq = 12·50/(12 + 50) = 9.677 kN/m
固有频率
ωn = √(9677/50) = 13.91 rad/s
fn = 13.91/(2π) = 2.214 Hz
答案
fn = 2.214 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design