齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.5 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 24、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 1.5 kWn = 1440 rpmN1 = 24m = 2.5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 153.6 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？
nin = 1440 rpmA = 16B = 45C = 12nout = 153.6 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1800 rpm 下传递 100 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 100 kWN = 1800 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 50 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 50 MPaσy = −60 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 20 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 35° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 20 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 25 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 110 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø16 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后 2 个周期出现峰值 4.4 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 12 mmx2 = 4.4 mmn = 2
ζ =
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 40 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 50 kgk1 = 40 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 331.6 N
齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：Ft = 2T/d。
小齿轮上的转矩
ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T = P/ω = 1500/150.8 = 9.947 N·m
分度圆直径
d = m·N = 2.5·24 = 60 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·9.947/0.06 = 331.6 N
答案
Ft = 331.6 N
2.齿轮与齿轮系
答案: ND = 40
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
中间轴转速
nB = nC = 1440·16/45 = 512 rpm
齿轮 D 的齿数
ND = C·nC/nout = 12·512/153.6 = 40
答案
ND = 40
3.轴的扭转
答案: φ = 13.15 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(26000·251327) = 0.2296 rad
φ = 0.2296·180/π = 13.15°
答案
φ = 13.15°
4.轴的扭转
答案: τmax = 13.34 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m
极惯性矩
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 530516·30/1.193 × 10⁶ = 13.34 MPa
答案
τmax = 13.34 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −5.152 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−10, 50 − −60) = −10.3°
单元体上的角度
θp = −5.152°
答案
θp = −5.152°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 51.48 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 25 + −5·0.342 + 30·0.9397 = 51.48 MPa
答案
σθ = 51.48 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 1243 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 25·1000/201.1 = 124.3 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 124.3/100000 = 0.001243 = 1243 µε
答案
ε = 1243 µε
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 547.1 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 87.54 MPa
σ2 = 547.1 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 547.1 MPa
答案
σmax = 547.1 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 164.5 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1250² = 164493 N = 164.5 kN
答案
Pcr = 164.5 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 17.27 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答案
σcr = 17.27 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.07959
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/2)·ln(12/4.4) = 0.5017
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5017/√(39.48 + 0.2517) = 0.07959
答案
ζ = 0.07959
12.机械振动
答案: keq = 13.33 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/40 + 1/20 → keq = 40·20/(40 + 20) = 13.33 kN/m
答案
keq = 13.33 kN/m
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