齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 125 mm 的带轮以 720 rpm 通过皮带驱动一个 400 mm 的带轮，打滑率为 1 %。求从动轮的转速 n2。
n1 = 720 rpmd1 = 125 mmd2 = 400 mms = 1 %
n2 = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（32 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（60 齿）。齿轮 C（30 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。求输出转速 nout。
nin = 1500 rpmA = 32B = 60C = 30D = 80
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 200 N·md = 20 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心黄铜轴在 750 rpm 下传递 5 kW。切应力不得超过 75 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 1°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 5 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 80 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = −40 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 80 MPaσy = 110 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 600 mm，壁厚 8 mm，所盛气体的表压为 2 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 25° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 600 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 25°
σn = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 150 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 150 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 120 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 10 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 10 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 50 mm 之后 3 个周期出现峰值 2.9 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 50 mmx3 = 2.9 mmn = 3
ζ =
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 25 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 20 kgk1 = 10 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: n2 = 222.8 rpm
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
无打滑时的转速
720·125/400 = 225 rpm
有打滑
n2 = 225·0.99 = 222.8 rpm
答案
n2 = 222.8 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 300 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 1500·32/60 = 800 rpm = nC
第二级
nout = 800·30/80 = 300 rpm
答案
nout = 300 rpm
总传动比 = 5 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 22.45 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·15708) = 0.3918 rad
φ = 0.3918·180/π = 22.45°
答案
φ = 22.45°
4.轴的扭转
答案: d = 31.24 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 5000/78.54 = 63.66 N·m
按强度求直径
T = 63.66 N·m = 63662 N·mm
dτ = ∛(16·63662/(π·75)) = 16.29 mm
按刚度求直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·63662/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 31.24 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(16.29, 31.24) = 31.24 mm
答案
d = 31.24 mm
这里由刚度控制。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 68.86 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 95 MPa, R = √((−15)² + (−40)²) = 42.72 MPa
σ1 = 137.7 MPa, σ2 = 52.28 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(85.44, 137.7, 52.28)/2 = 68.86 MPa
答案
τabs = 68.86 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 68.3 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 2·300/8 = 75 MPa
σa = pr/(2t) = 37.5 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 37.5·sin²25° + 75·cos²25° = 68.3 MPa
答案
σn = 68.3 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.07795 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·7461 = 9.621 × 10⁸ N
缩短量
δ = 150000·500/9.621 × 10⁸ = 0.07795 mm
答案
δ = 0.07795 mm
8.轴向应力与应变
答案: δ = 12.49 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 169.8 MPa
σ2 = 382 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 169.8·2000/70000 = 4.85 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 382·2000/100000 = 7.639 mm
δ = δ1 + δ2 = 12.49 mm
答案
δ = 12.49 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 69.09 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
计算长度
KL = 1·2500 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2500² = 69087 N = 69.09 kN
答案
Pcr = 69.09 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 22.54 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·10000 = 25000 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 22.54 mm
答案
d = 22.54 mm
校核：长细比 KL/r 为 177.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1494
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/3)·ln(50/2.9) = 0.9491
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9491/√(39.48 + 0.9008) = 0.1494
答案
ζ = 0.1494
12.机械振动
答案: keq = 35 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 10 + 25 = 35 kN/m
答案
keq = 35 kN/m
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