齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 15 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 45 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 50 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 98%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 15 kWn1 = 1500 rpmN1 = 45N2 = 50η = 98%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个行星齿轮系中，太阳轮有 18 个齿，每个行星轮有 18 个齿。齿圈固定，太阳轮以 3000 rpm 驱动。求行星架的转速 nc。
Ns = 18Np = 18ns = 3000 rpm
nc = rpm
3.轴的扭转中等
一根长 0.8 m 的实心钢轴承受 200 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1.5°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 200 N·mL = 0.8 mG = 80 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 25 mm 的实心钢轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 1.5 m、距 B 2 m 的 C 处施加 100 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 25 mmT0 = 100 N·ma = 1.5 mb = 2 mG = 80 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 50 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = −50 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = 50 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −30 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 20° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = −30 MPaσy = −70 MPaτxy = −10 MPaθ = 20°
τθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铝杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 110 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 50 kN第 1 段：Ø40 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 150 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 4160 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 150 kgk = 80 kN/mc = 4160 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 5 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 10 kgk1 = 10 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 5 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 95.49 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/157.1 = 95.49 N·m
答案
T1 = 95.49 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nc = 750 rpm
行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。
齿圈齿数
Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·18 = 54
齿圈固定时的威利斯方程
令 nr = 0，求行星架的转速。
(3000 − nc)/(0 − nc) = −54/18
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 3000·18/72 = 750 rpm
答案
nc = 750 rpm
行星架与太阳轮转向相同。
3.轴的扭转
答案: d = 29.7 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·800/(80000·0.02618) = 76394 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 29.7 mm
答案
d = 29.7 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: φC = 1.601 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·2/3.5 = 57.14 N·m
TB = 100·1.5/3.5 = 42.86 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 57143·1500/(80000·38350) = 0.02794 rad = 1.601°
答案
φC = 1.601°
5.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 58.31 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = 20 MPa, R = √(30² + (−50)²) = 58.31 MPa
σ1 = 78.31 MPa, σ2 = −38.31 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(116.6, 78.31, 38.31)/2 = 58.31 MPa
答案
τabs = 58.31 MPa
这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。
6.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −20.52 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −20·0.6428 + −10·0.766 = −20.52 MPa
答案
τθ = −20.52 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 7816 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201.1 = 547.1 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 547.1/70000 = 0.007816 = 7816 µε
答案
ε = 7816 µε
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 442.1 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 39.79 MPa
σ2 = 442.1 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 442.1 MPa
答案
σmax = 442.1 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 17.27 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/3000² = 17272 N = 17.27 kN
答案
Pcr = 17.27 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 38.86 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa
答案
σcr = 38.86 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.6004
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·150) = 6928 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 4160/6928 = 0.6004
答案
ζ = 0.6004
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 3.295 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 10 + 20 = 30 kN/m
keq = 30·5/(30 + 5) = 4.286 kN/m
固有频率
ωn = √(4286/10) = 20.7 rad/s
fn = 20.7/(2π) = 3.295 Hz
答案
fn = 3.295 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design