齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 200 mm 的带轮以 1450 rpm 通过皮带驱动一个 500 mm 的带轮，打滑率为 3 %。求从动轮的转速 n2。
n1 = 1450 rpmd1 = 200 mmd2 = 500 mms = 3 %
n2 = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 1440 rpm 转动、直径 200 mm 的主动轮与一个 300 mm 的带轮相连；中心距为 600 mm。摩擦系数为 0.35，紧边张力不得超过 500 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 200 mmn1 = 1440 rpmd2 = 300 mmC = 600 mmμ = 0.35T1 = 500 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 200 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
T = 200 N·mdi/do = 0.5τallow = 60 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 60 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 0.8 m、距 B 1.2 m 的 C 处施加 1000 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 60 mmT0 = 1000 N·ma = 0.8 mb = 1.2 mG = 39 GPa
φC = °
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −30 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −30 MPaσy = −70 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 40 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 60° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 40 MPaσy = 0 MPaτxy = −20 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 30 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 75 kN第 1 段：Ø35 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，2 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 60 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 60 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 150 kg 的质量块挂在刚度为 20 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 150 kgk = 20 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 10 kN/m，下弹簧 k₂ = 50 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 20 kgk1 = 10 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: n2 = 562.6 rpm
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
无打滑时的转速
1450·200/500 = 580 rpm
有打滑
n2 = 580·0.97 = 562.6 rpm
答案
n2 = 562.6 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 4.878 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.975 rad
松边张力
eμθ = e1.041 = 2.832, T₂ = 500/2.832 = 176.5 N
功率
P = (500 − 176.5)·15.08 = 4.878 kW
答案
P = 4.878 kW
3.轴的扭转
答案: do = 26.26 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·60·0.9375)) = 26.26 mm
di = 0.5·26.26 = 13.13 mm
答案
do = 26.26 mm
实心轴需要 d = 25.7 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: φC = 0.5542 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·1.2/2 = 600 N·m
TB = 1000·0.8/2 = 400 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 600000·800/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.009673 rad = 0.5542°
答案
φC = 0.5542°
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 34.1 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·50, −30 − −70) = 68.2°
单元体上的角度
θp = 34.1°
答案
θp = 34.1°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −7.321 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 20 + 20·−0.5 + −20·0.866 = −7.321 MPa
答案
σθ = −7.321 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 4.897 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 30·1000/78.54 = 382 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 382/117000 = 0.003265 = 3265 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.003265·1500 mm = 4.897 mm
答案
δ = 4.897 mm
8.轴向应力与应变
答案: δ = 19.28 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 77.95 MPa
σ2 = 663.1 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 77.95·500/117000 = 0.3331 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 663.1·2000/70000 = 18.95 mm
δ = δ1 + δ2 = 19.28 mm
答案
δ = 19.28 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 2.18 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 1·6000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2.18 kN
答案
Pcr = 2.18 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 107.3 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 107.3 mm
答案
d = 107.3 mm
校核：长细比 KL/r 为 186.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 1.641 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(20000/150) = 11.55 rad/s
fn = 11.55/(2π) = 1.838 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.838·√(1 − 0.45²) = 1.641 Hz
答案
fd = 1.641 Hz
12.机械振动
答案: keq = 8.333 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/10 + 1/50 → keq = 10·50/(10 + 50) = 8.333 kN/m
答案
keq = 8.333 kN/m
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