齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 3 kW、转速 960 rpm 的电动机驱动一个齿数为 18、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 3 kWn = 960 rpmN1 = 18m = 2.5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 960 rpm 转动、直径 120 mm 的主动轮与一个 250 mm 的带轮相连；中心距为 800 mm。摩擦系数为 0.3，紧边张力不得超过 2000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 120 mmn1 = 960 rpmd2 = 250 mmC = 800 mmμ = 0.3T1 = 2000 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根长 1.5 m 的实心黄铜轴承受 500 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1.5°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 500 N·mL = 1.5 mG = 39 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1450 rpm 下传递 75 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 75 kWN = 1450 rpmdo = 75 mmdi = 53 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 0 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 0 MPaσy = −60 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 25 mm 的实心轴承受200 N·m 的弯矩，同时承受 1000 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求面内最大切应力 τmax。
d = 25 mmM = 200 N·mT = 1000 N·m
τmax = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 200 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.5 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa，许用应力 150 MPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa，许用应力 70 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 20 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 150 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 1730 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 150 kgk = 80 kN/mc = 1730 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 20 kgk1 = 25 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 1326 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 3000/100.5 = 29.84 N·m
分度圆直径
d = m·N = 2.5·18 = 45 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·29.84/0.045 = 1326 N
答案
Ft = 1326 N
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 7.128 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.979 rad
松边张力
eμθ = e0.8937 = 2.444, T₂ = 2000/2.444 = 818.3 N
功率
P = (2000 − 818.3)·6.032 = 7.128 kW
答案
P = 7.128 kW
3.轴的扭转
答案: d = 52.3 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·1500/(39000·0.02618) = 734561 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 52.3 mm
答案
d = 52.3 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: τmax = 7.944 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m
极惯性矩
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 493929·37.5/2.332 × 10⁶ = 7.944 MPa
答案
τmax = 7.944 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 31.72 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·60, 0 − −60) = 63.43°
单元体上的角度
θp = 31.72°
答案
θp = 31.72°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 332.4 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·25³) = 130.4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·25³) = 325.9 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 65.19 MPa
R = √(65.19² + 325.9²) = 332.4 MPa
答案
τmax = 332.4 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 95.85 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.5/5.217 × 10⁻⁶ = 95845 N = 95.85 kN
答案
P = 95.85 kN
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 753.2 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·9346 = 1.076 × 10⁹ N
控制应变
ε = min(0.00075, 0.0007) = 0.0007 (黄铜)
最大载荷
Pmax = 0.0007·1.076 × 10⁹ = 753197 N = 753.2 kN
答案
Pmax = 753.2 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 3.139 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 1·5000 = 5000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN
答案
Pcr = 3.139 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 56.68 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·20000 = 40000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 56.68 mm
答案
d = 56.68 mm
校核：长细比 KL/r 为 352.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.2497
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·150) = 6928 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 1730/6928 = 0.2497
答案
ζ = 0.2497
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: keq = 105 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 25 + 80 = 105 kN/m
答案
keq = 105 kN/m
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