齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.1 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 20 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 98%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 1.1 kWn1 = 960 rpmN1 = 20N2 = 80η = 98%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 100 mm 的带轮和一个 300 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 100 mmd2 = 300 mmC = 1200 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 20 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心铝轴在 500 rpm 下传递 20 kW。切应力不得超过 80 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 1°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 20 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = 60 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −60 MPaσy = 60 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = 120 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 100 MPaσy = 120 MPaτxy = 60 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 80 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 70 kN第 1 段：Ø30 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 75 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 75 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 25 mm 之后 5 个周期出现峰值 0.6 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 25 mmx5 = 0.6 mmn = 5
ζ =
12.机械振动困难
一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 100 kgk1 = 60 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 42.89 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/100.5 = 10.94 N·m
输出扭矩
T2 = 10.94·80/20·0.98 = 42.89 N·m
答案
T2 = 42.89 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 170.4 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.08333) = 4.78°
包角
θ = 180 − 2·4.78 = 170.4°
答案
θ = 170.4°
3.轴的扭转
答案: φ = 18.71 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(39000·15708) = 0.3265 rad
φ = 0.3265·180/π = 18.71°
答案
φ = 18.71°
4.轴的扭转
答案: d = 54.11 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m
按强度求直径
T = 382 N·m = 381972 N·mm
dτ = ∛(16·381972/(π·80)) = 28.97 mm
按刚度求直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·381972/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 54.11 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(28.97, 54.11) = 54.11 mm
答案
d = 54.11 mm
这里由刚度控制。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 72.11 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−60 − 60)/2)² + −40²) = 72.11 MPa
答案
τmax = 72.11 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 53.04 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 110 + −10·0.5 + 60·−0.866 = 53.04 MPa
答案
σθ = 53.04 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.8149 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 80·1000/490.9 = 163 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 163/200000 = 0.0008149 = 814.9 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.0008149·1000 mm = 0.8149 mm
答案
δ = 0.8149 mm
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 348.2 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 99.03 MPa
σ2 = 348.2 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 348.2 MPa
答案
σmax = 348.2 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 23.32 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
计算长度
KL = 2·1000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2000² = 23317 N = 23.32 kN
答案
Pcr = 23.32 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 39.44 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 39.44 mm
答案
d = 39.44 mm
校核：长细比 KL/r 为 126.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.1179
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/5)·ln(25/0.6) = 0.7459
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7459/√(39.48 + 0.5564) = 0.1179
答案
ζ = 0.1179
12.机械振动
答案: fn = 5.955 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 60 + 80 = 140 kN/m
固有频率
ωn = √(140000/100) = 37.42 rad/s
fn = 37.42/(2π) = 5.955 Hz
答案
fn = 5.955 Hz
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